Монотонность функции: возрастание и убывание

📌 Что такое монотонность функции?

Представь, что функция — это твой путь по горе. Если ты идешь только вверх — функция возрастает 📈. Если только вниз — функция убывает 📉. А если ты где-то поднимаешься, а где-то спускаешься — функция не является монотонной. Вот и вся суть!

В математике мы говорим, что функция возрастает, если большему значению аргумента соответствует большее значение функции. А если большему аргументу соответствует меньшее значение функции — она убывает.

🎯 Запомни: монотонность — это свойство функции либо только возрастать, либо только убывать на всём промежутке или его части.

🧮 Как определить монотонность?

Самый простой способ — посмотреть на график функции. Если график идёт слева направо вверх — функция возрастает. Если вниз — убывает.

Но мы с тобой любим точность! Поэтому используем строгое математическое правило:

• Функция y = f(x) возрастает на промежутке, если для любых x₁ < x₂ из этого промежутка выполняется f(x₁) < f(x₂)
• Функция y = f(x) убывает на промежутке, если для любых x₁ < x₂ из этого промежутка выполняется f(x₁) > f(x₂)

💡 Совет: чтобы лучше понять, представь двух человек — Сашу (x₁) и Машу (x₂). Саша младше Маши. Если функция возрастает, то и значение у Саши (f(x₁)) меньше, чем у Маши (f(x₂)).

---

📝 Примеры монотонных функций

Давай рассмотрим самые известные функции и определим их монотонность.

Функция	Формула	Монотонность
Линейная	y = kx + b	Возрастает при k > 0, убывает при k < 0
Квадратичная	y = ax² + bx + c	Возрастает и убывает на разных промежутках
Прямая пропорциональность	y = kx	Возрастает при k > 0, убывает при k < 0
Обратная пропорциональность	y = k/x	Убывает при k > 0 (на всей области определения)

📘 Важно: некоторые функции (как квадратичная) не являются монотонными на всей области определения, но имеют промежутки возрастания и убывания.

---

🔍 Исследуем функцию на монотонность

Давай научимся определять монотонность функции без графика, используя только математические вычисления.

Алгоритм исследования:

1. Выбрать два произвольных значения x₁ и x₂ из промежутка, причём x₁ < x₂
2. Вычислить f(x₁) и f(x₂)
3. Сравнить эти значения:
   • Если f(x₁) < f(x₂) — функция возрастает
   • Если f(x₁) > f(x₂) — функция убывает

✏️ Пример 1: Исследуем линейную функцию

Дана функция: y = 3x + 2. Докажем, что она возрастает на всей числовой прямой.

Решение:

1. Возьмём два произвольных значения: x₁ и x₂, причём x₁ < x₂
2. Вычислим:

   f(x₁) = 3x₁ + 2
   f(x₂) = 3x₂ + 2

3. Сравним:

   f(x₂) - f(x₁) = (3x₂ + 2) - (3x₁ + 2) = 3x₂ - 3x₁ = 3(x₂ - x₁)

4. Поскольку x₂ > x₁, то x₂ - x₁ > 0, значит 3(x₂ - x₁) > 0
5. Следовательно, f(x₂) - f(x₁) > 0, а значит f(x₂) > f(x₁)

Мы доказали, что функция y = 3x + 2 возрастает на всей числовой прямой! ✅

✏️ Пример 2: Исследуем квадратичную функцию

Дана функция: y = x² - 4x + 3. Определим промежутки монотонности.

Решение:

1. Найдём вершину параболы:

   x₀ = -b/(2a) = 4/(2*1) = 2

2. Поскольку коэффициент a = 1 > 0, ветви параболы направлены вверх
3. Значит:
   • На промежутке (-∞; 2] функция убывает
   • На промежутке [2; +∞) функция возрастает

Проверим это, взяв значения из разных промежутков:

На промежутке убывания: возьмём x₁ = 0 и x₂ = 1

f(0) = 0² - 4*0 + 3 = 3
f(1) = 1² - 4*1 + 3 = 0
0 < 1, но f(0) = 3 > f(1) = 0 ⇒ функция убывает

На промежутке возрастания: возьмём x₁ = 3 и x₂ = 4

f(3) = 3² - 4*3 + 3 = 0
f(4) = 4² - 4*4 + 3 = 3
3 < 4, и f(3) = 0 < f(4) = 3 ⇒ функция возрастает