Независимые события: умножение вероятностей

Что такое независимые события? 🤔

Давайте представим, что вы подбрасываете монетку и бросаете игральный кубик. Результат броска монетки никак не влияет на то, какое число выпадет на кубике. Такие события и называются независимыми.

💡 Независимые события — это такие события, когда наступление одного из них НЕ влияет на вероятность наступления другого.

Другие примеры независимых событий:

• 🎲 Два последовательных броска игрального кубика
• 🃏 Доставание карты из колоды с возвращением
• 🎯 Стрельба по мишени разными стрелками

Правило умножения вероятностей ✖️

Для независимых событий существует простое правило:

Вероятность того, что произойдут два независимых события, равна произведению их вероятностей.

Математически это записывается так:

P(A и B) = P(A) × P(B)

Где:

• P(A) — вероятность события A
• P(B) — вероятность события B
• P(A и B) — вероятность того, что оба события произойдут

---

Разбираем на примерах 🎯

Пример 1: Монетка и кубик

Задача: Какова вероятность, что при броске монетки выпадет «орёл» И на кубике выпадет 6?

Решение:

1. Вероятность выпадения «орла»: P(орёл) = 1/2
2. Вероятность выпадения шестерки: P(6) = 1/6
3. Так как события независимы: P(орёл и 6) = 1/2 × 1/6 = 1/12

Пример 2: Две монетки

Задача: Подбрасываем две монетки. Какова вероятность, что обе упадут «решкой»?

Решение:

1. Вероятность решки на первой монетке: P(решка1) = 1/2
2. Вероятность решки на второй монетке: P(решка2) = 1/2
3. Искомая вероятность: P(2 решки) = 1/2 × 1/2 = 1/4

---

Проверяем независимость событий 🔍

Не все события являются независимыми! Давайте научимся это определять.

Задача: В корзине 3 красных и 2 синих шара. Мы достаем два шара. Зависимы ли события «первый шар красный» и «второй шар синий»?

Ответ: Это зависит от того, возвращаем ли мы первый шар!

Ситуация	Зависимость	Почему?
С возвращением первого шара	Независимые	Состав корзины не меняется
Без возвращения первого шара	Зависимые	Состав корзины меняется после первого выбора

📌 Запомните: если мы что-то не возвращаем обратно, события становятся зависимыми!

---

Решаем более сложные задачи 🧠

Задача 3: Стрельба по мишени

Условие: Два стрелка стреляют по мишени. Вероятность попадания первого — 0,8, второго — 0,7. Какова вероятность, что оба попадут в мишень?

Решение:

1. События независимы (результат одного стрелка не влияет на другого)
2. P(оба попадут) = 0,8 × 0,7 = 0,56

Задача 4: Три броска кубика

Условие: Какова вероятность выбросить три шестерки подряд?

Решение:

1. Вероятность одной шестерки: 1/6
2. Так как броски независимы: P(3 шестерки) = 1/6 × 1/6 × 1/6 = 1/216

---

Частые ошибки и как их избежать ⚠️

Ошибка	Правильно	Пример
Путают независимые и зависимые события	Всегда проверяйте, влияет ли первое событие на второе	Доставание шаров без возвращения — зависимые события
Складывают вероятности вместо умножения	Для «И» всегда умножение, для «ИЛИ» — сложение	P(A и B) = P(A) × P(B)
Забывают проверить условие независимости	Всегда задавайте вопрос: «Изменяется ли вероятность второго события после первого?»	После выпадения орла вероятность решки не меняется

🎯 Совет: Рисуйте дерево вероятностей для сложных задач! Это помогает визуализировать независимые события.

---

Практикуемся вместе 🎲

Задача для решения:

В классе 12 девочек и 8 мальчиков. Случайным образом выбирают двух учеников для участия в олимпиаде. Какова вероятность, что это будут две девочки, если:

а) первого ученика возвращают в класс
б) первого ученика не возвращают

Пошаговое решение:

а) С возвращением:

1. События независимы
2. Вероятность выбрать девочку: 12/20 = 3/5
3. P(2 девочки) = 3/5 × 3/5 = 9/25

б) Без возвращения:

1. События зависимы!
2. Вероятность первой девочки: 12/20 = 3/5
3. После этого осталось 19 учеников, из них 11 девочек
4. Вероятность второй девочки: 11/19
5. P(2 девочки) = 12/20 × 11/19 = 132/380 = 33/95

💡 Обратите внимание: во втором случае мы не можем использовать правило умножения для независимых событий!