Перестановки: определение и формула

Что такое перестановки? 🎯

Представь, что у тебя есть несколько разных предметов, и тебе нужно расставить их в определённом порядке. Каждый способ расстановки этих предметов и будет перестановкой.

Простой пример из жизни: у тебя есть три книги, которые ты хочешь поставить на полку. Сколько существует способов это сделать? Каждый different порядок расположения этих книг (например, сначала учебник, потом роман, потом сборник задач) — это и есть одна перестановка.

💡 Запомни: Перестановки — это комбинации, в которых важен порядок расположения элементов. Все элементы используются, и ни один не повторяется.

Формула числа перестановок 📐

Чтобы не пересчитывать все возможные варианты вручную, математики придумали удобную формулу. Если у нас есть n различных предметов, то число всех возможных перестановок вычисляется по формуле:

P(n) = n!

Что такое n!? Это факториал числа n.

Факториал — это произведение всех натуральных чисел от 1 до этого числа. Например:

• 3! = 1 * 2 * 3 = 6
• 4! = 1 * 2 * 3 * 4 = 24
• 5! = 1 * 2 * 3 * 4 * 5 = 120

📘 По определению: 0! = 1. Это важно запомнить для решения более сложных задач в будущем!

---

Разбираемся на примерах 🧮

Давай закрепим теорию на практических задачах. Я покажу тебе пошаговое решение, чтобы ты понял логику.

Задача 1. Расстановка книг

Условие: Сколькими способами можно расставить на полке 4 различные книги?

Решение:

1. У нас есть n = 4 различных предмета (книги).
2. Используем формулу числа перестановок: P(4) = 4!
3. Вычисляем факториал: 4! = 1 * 2 * 3 * 4 = 24
4. Ответ: 24 способа.

Задача 2. Расписание уроков

Условие: В расписании на понедельник должно быть 5 уроков: алгебра, геометрия, литература, физкультура и история. Сколькими способами можно составить расписание на этот день?

Решение:

1. Мы должны упорядочить n = 5 различных предметов.
2. Число перестановок для пяти элементов: P(5) = 5!
3. Вычисляем: 5! = 1 * 2 * 3 * 4 * 5 = 120
4. Ответ: 120 способов.

---

Как рассуждать, решая задачи? 🤔

Чтобы не запутаться, всегда действуй по алгоритму:

1. Определи, все ли элементы в задаче различны? (Перестановки работают только с неповторяющимися элементами)
2. Пойми, важен ли порядок их расположения? (Для перестановок — да!)
3. Посчитай, сколько всего элементов n нужно упорядочить.
4. Примени формулу P(n) = n!.
5. Вычисли факториал и запиши ответ.

🎯 Совет: Если задача кажется сложной, представь её в виде реальных объектов — книг, цифр, людей. Рисуй схемы на черновике! Это помогает визуализировать условие.

Частые ошибки и как их избежать ⚠️

Ошибка	Правильный подход	Пример
Путают с сочетаниями (где порядок НЕ важен)	Спроси себя: «Если я поменяю два элемента местами, это будет другой вариант?» Если ДА — это перестановки.	Расстановка книг на полке — перестановки (порядок важен). Выбор трёх книг из пяти для чтения — сочетания (порядок не важен).
Забывают, что все элементы должны быть различны	Если есть одинаковые элементы, формула n! не подходит. Это уже другая тема — «перестановки с повторениями».	Сколько слов можно составить из букв «КОЛОКОЛ»? Здесь есть повторяющиеся буквы «О», «К», «Л».
Неправильно вычисляют факториал	Факториал — это произведение всех чисел от 1 до n. Будь внимателен при умножении!	4! = 1*2*3*4=24, а не 4+3+2+1=10

---

Потренируйся сам! ✏️

Попробуй решить эти задачи. Не спеши смотреть ответ — проверь себя.

Задача для самостоятельного решения 1

Сколькими способами 6 человек могут встать в очередь за билетами в кино?

Показать решение

Решение:

1. Нужно упорядочить n = 6 различных человек.
2. P(6) = 6! = 1 * 2 * 3 * 4 * 5 * 6
3. 6! = 720
4. Ответ: 720 способов.

Задача для самостоятельного решения 2

Сколько различных четырёхзначных чисел можно составить из цифр 1, 3, 5, 7 без повторения?

Показать решение

Решение:

1. У нас есть 4 различные цифры, и мы используем все их для составления числа.
2. Порядок цифр в числе важен — от него зависит значение числа (13 и 31 — это разные числа).
3. Значит, применяем формулу перестановок: P(4) = 4!
4. 4! = 1 * 2 * 3 * 4 = 24
5. Ответ: 24 числа.