Последовательности: понятие, способы задания

Что такое последовательность? 🧮

Представь, что ты составляешь список покупок или нумеруешь страницы в тетради. Это и есть последовательность — просто упорядочный набор чисел или объектов, следующих друг за другом в определенном порядке.

💡 Проще говоря: последовательность — это как очередь чисел, где у каждого есть свой номер места!

Каждое число в последовательности называется членом последовательности. Первое число — первый член, второе — второй, и так далее.

Примеры из жизни:

• 🌡️ Температура воздуха каждый день в 12:00
• 📅 Номера домов на твоей улице
• 🎯 Результаты бросков баскетбольного мяча

---

Как задать последовательность? ✍️

Существует несколько основных способов, которыми мы можем описать последовательность.

1. Словесный способ

Мы просто словами описываем правило, по которому строится последовательность.

Пример: «Все натуральные числа в порядке возрастания»

1, 2, 3, 4, 5, 6, ...

Пример: «Четные числа, начиная с 2»

2, 4, 6, 8, 10, ...

2. Формула n-го члена

Это самый точный и удобный способ! Мы записываем формулу, по которой можно найти любой член последовательности, зная его номер.

Обозначается так: aₙ — n-й член последовательности

Пример: aₙ = 2n + 1

Давай найдем несколько первых членов:

• a₁ = 2×1 + 1 = 3
• a₂ = 2×2 + 1 = 5
• a₃ = 2×3 + 1 = 7

Получается последовательность: 3, 5, 7, 9, 11, ...

🎯 Совет: чтобы найти любой член последовательности, просто подставь его номер в формулу!

3. Рекуррентный способ

Этот способ показывает, как каждый следующий член связан с предыдущими.

Пример: «Каждый следующий член на 3 больше предыдущего, первый член равен 5»

Запишем математически:

a₁ = 5
aₙ = aₙ₋₁ + 3

Вычисляем по цепочке:

• a₁ = 5
• a₂ = a₁ + 3 = 5 + 3 = 8
• a₃ = a₂ + 3 = 8 + 3 = 11

Получаем: 5, 8, 11, 14, 17, ...

---

Потренируемся! 💪

Задача 1

Последовательность задана формулой aₙ = n² - 1. Найди первые 5 членов.

Решение

Подставляем значения n от 1 до 5:

• a₁ = 1² - 1 = 1 - 1 = 0
• a₂ = 2² - 1 = 4 - 1 = 3
• a₃ = 3² - 1 = 9 - 1 = 8
• a₄ = 4² - 1 = 16 - 1 = 15
• a₅ = 5² - 1 = 25 - 1 = 24

Ответ: 0, 3, 8, 15, 24

Задача 2

Последовательность задана рекуррентно: a₁ = 2, aₙ = 3 × aₙ₋₁. Найди первые 4 члена.

Решение

Вычисляем по цепочке:

• a₁ = 2
• a₂ = 3 × a₁ = 3 × 2 = 6
• a₃ = 3 × a₂ = 3 × 6 = 18
• a₄ = 3 × a₃ = 3 × 18 = 54

Ответ: 2, 6, 18, 54

Задача 3

Придумай формулу n-го члена для последовательности: 4, 7, 10, 13, 16, ...

Решение

Замечаем, что каждый член больше предыдущего на 3. Это арифметическая прогрессия!

Первый член: 4

Разность: 3

Формула: aₙ = 4 + 3(n - 1)

Упростим: aₙ = 4 + 3n - 3 = 3n + 1

Ответ: aₙ = 3n + 1

---

Таблица способов задания

Способ	Как выглядит	Плюсы	Минусы
Словесный	«Натуральные числа»	Просто понять	Не всегда точно
Формула n-го члена	aₙ = 2n + 3	Точно, можно найти любой член	Нужно уметь работать с формулами
Рекуррентный	a₁ = 1, aₙ = aₙ₋₁ + 4	Показывает связь между членами	Чтобы найти 100-й член, нужно вычислить все предыдущие

📘 Запомни: чаще всего в математике используют формулу n-го члена — она самая удобная и универсальная!

---

Важные моменты 🔍

• 📏 Нумерация: обычно последовательность начинается с первого члена (n = 1), но иногда может начинаться с нуля
• ∞ Бесконечность: большинство последовательностей бесконечны, мы изучаем только их начало
• 🔢 Числовой ряд: последовательность — это не просто набор чисел, а упорядоченный набор
• 📈 Закономерность: в последовательности всегда есть правило, даже если оно не сразу очевидно