Правила сложения и умножения вероятностей
Введение в мир вероятностей
Добро пожаловать на урок, где мы разберемся с двумя важнейшими правилами теории вероятностей! 🎲 Эти правила помогут нам решать множество интересных задач — от расчета шансов в играх до анализа реальных ситуаций.
Давайте вспомним: вероятность события — это число от 0 до 1, которое показывает, насколько это событие возможно. 0 — невозможно, 1 — точно произойдет.
Правило сложения вероятностей ➕
Это правило применяется, когда мы хотим найти вероятность того, что произойдет одно из нескольких событий.
Существует два случая, которые важно различать:
Случай 1: Несовместные события
События называются несовместными, если они не могут произойти одновременно. Например, при броске монеты выпадет «орел» ИЛИ «решка» — оба сразу быть не может.
🎯 Запомни: Для несовместных событий вероятности просто складываются!
Формула:
P(A или B) = P(A) + P(B)
Рассмотрим на примере:
В корзине 5 красных, 3 синих и 2 зеленых шара. Какова вероятность вытянуть красный или синий шар?
Решение:
- Вероятность вытянуть красный шар:
P(к) = 5/10 = 0.5 - Вероятность вытянуть синий шар:
P(с) = 3/10 = 0.3 - События несовместны (шар не может быть одновременно красным и синим)
- Применяем правило сложения:
P(к или с) = 0.5 + 0.3 = 0.8
Ответ: вероятность вытянуть красный или синий шар равна 0.8 или 80%.
Случай 2: Совместные события
События называются совместными, если они могут произойти одновременно. Например, при броске игральной кости: выпадет четное число ИЛИ число больше 3.
📘 Важно: При сложении совместных событий мы должны вычесть вероятность их одновременного появления, чтобы не учесть ее дважды!
Формула:
P(A или B) = P(A) + P(B) - P(A и B)
Разберем на задаче:
Бросаем игральную кость. Какова вероятность, что выпадет четное число или число больше 3?
Решение:
- Вероятность четного числа (2,4,6):
P(чет) = 3/6 = 0.5 - Вероятность числа >3 (4,5,6):
P(>3) = 3/6 = 0.5 - Вероятность, что число и четное, и >3 (4,6):
P(чет и >3) = 2/6 ≈ 0.333 - Применяем правило:
P(чет или >3) = 0.5 + 0.5 - 0.333 ≈ 0.667
Ответ: вероятность составляет approximately 0.667 или 66.7%.
Правило умножения вероятностей ✖️
Это правило применяется, когда мы хотим найти вероятность того, что произойдет несколько событий вместе.
Здесь также есть два важных случая:
Случай 1: Независимые события
События называются независимыми, если одно не влияет на вероятность другого. Например, два последовательных броска монеты.
🎲 Запомни: Для независимых событий вероятности перемножаются!
Формула:
P(A и B) = P(A) × P(B)
Пример задачи:
Какова вероятность, что при двух бросках монеты оба раза выпадет «орел»?
Решение:
- Вероятность «орла» при одном броске:
P(о) = 0.5 - События независимы (результат первого броска не влияет на второй)
- Применяем правило умножения:
P(о и о) = 0.5 × 0.5 = 0.25
Ответ: вероятность двух «орлов» подряд равна 0.25 или 25%.
Случай 2: Зависимые события
События называются зависимыми, если одно влияет на вероятность другого. Часто это задачи, где мы что-то достаем из набора и не возвращаем обратно.
🔺 Важно: Для зависимых событий мы используем условные вероятности!
Формула:
P(A и B) = P(A) × P(B|A)
где P(B|A) — вероятность события B при условии, что событие A уже произошло
Решим задачу:
В коробке 5 конфет: 2 шоколадных и 3 карамельных. Какова вероятность вытянуть подряд две шоколадные конфеты без возвращения?
Решение:
- Вероятность первой шоколадной:
P(ш1) = 2/5 = 0.4 - После этого в коробке остается 4 конфеты, из них только 1 шоколадная
- Вероятность второй шоколадной при условии, что первая была шоколадной:
P(ш2|ш1) = 1/4 = 0.25 - Применяем правило:
P(ш1 и ш2) = 0.4 × 0.25 = 0.1
Ответ: вероятность вытянуть две шоколадные конфеты подряд равна 0.1 или 10%.
Сводная таблица правил 📋
| Правило | Когда применять | Формула |
|---|---|---|
| Сложение | Событие A ИЛИ событие B | P(A или B) = P(A) + P(B) - P(A и B) |
| Умножение | Событие A И событие B | P(A и B) = P(A) × P(B|A) |
💡 Совет: Всегда анализируйте задачу — определите, совместны ли события, зависимы ли они, прежде чем выбирать правило!
Практические задачи для закрепления 🎯
Задача
В колоде 36 карт. Какова вероятность вытянуть черву или пику?
