Правило умножения в комбинаторике

🎯 Что такое правило умножения?

Представь, что ты собираешься на прогулку. У тебя есть 3 футболки (красная, синяя, зеленая) и 2 пары шорт (черные и белые). Сколько всего разных комплектов одежды ты можешь составить?

Можно просто перебрать все варианты:

• Красная футболка + черные шорты
• Красная футболка + белые шорты
• Синяя футболка + черные шорты
• Синяя футболка + белые шорты
• Зеленая футболка + черные шорты
• Зеленая футболка + белые шорты

Получилось 6 вариантов. Но есть способ проще! Просто умножь количество футболок на количество шорт:

3 × 2 = 6

Это и есть правило умножения в комбинаторике! 📐

💡 Правило умножения: если первый объект можно выбрать n способами, а второй — m способами, то пару объектов можно выбрать n × m способами.

---

➕ Когда применяется правило умножения?

Правило умножения работает, когда нужно:

• Выбрать несколько объектов последовательно (один за другим)
• Составить комбинации из элементов разных групп
• Каждый выбор не зависит от предыдущего

Ситуация	Пример	Расчет
Одежда	4 футболки × 3 джинсы	4 × 3 = 12 комплектов
Еда	3 первых блюда × 2 вторых × 4 десерта	3 × 2 × 4 = 24 варианта меню
Маршруты	2 пути до парка × 3 тропинки в парке	2 × 3 = 6 маршрутов

🎯 Запомни: правило умножения используется, когда мы составляем комбинации из элементов разных наборов!

---

🧮 Решаем задачи вместе

Давай разберем несколько задач от простых к сложным.

Задача 1. Меню в столовой

Условие: В столовой на обед предлагают 2 супа, 3 вторых блюда и 2 напитка. Сколько всего вариантов обеда можно составить?

Решение:

1. Выбираем суп: 2 способа
2. Выбираем второе блюдо: 3 способа
3. Выбираем напиток: 2 способа

Применяем правило умножения:

2 × 3 × 2 = 12

Ответ: 12 вариантов обеда

Задача 2. Составление чисел

Условие: Сколько трехзначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, если цифры не повторяются?

Решение:

1. Выбираем первую цифру: 4 варианта (1, 2, 3, 4)
2. Выбираем вторую цифру: 3 варианта (одна цифра уже использована)
3. Выбираем третью цифру: 2 варианта (две цифры уже использованы)

Применяем правило умножения:

4 × 3 × 2 = 24

Ответ: 24 трехзначных числа

📝 Важно: когда элементы не могут повторяться, количество вариантов уменьшается с каждым выбором!

---

🔺 Особые случаи и тонкости

Иногда в задачах есть ограничения — давай научимся их учитывать.

Задача с ограничением

Условие: Сколько трехзначных четных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5, если цифры не повторяются?

Решение: Четное число оканчивается на четную цифру. Из наших цифр четные это 2 и 4.

Начнем выбор с последней цифры (это важно!):

1. Выбираем последнюю цифру: 2 варианта (2 или 4)
2. Выбираем первую цифру: 4 варианта (все оставшиеся цифры, кроме использованной)
3. Выбираем вторую цифру: 3 варианта (остались три цифры)

Применяем правило умножения:

2 × 4 × 3 = 24

Ответ: 24 четных трехзначных числа

💡 Совет: если есть ограничение, начинай выбор с того элемента, у которого меньше всего вариантов!

---

📘 Практикуемся самостоятельно

Попробуй решить эти задачи. Проверь себя по ответам ниже!

Задача для разминки

У Маши есть 4 юбки и 5 блузок. Сколько разных комплектов она может составить?

Показать решение

4 × 5 = 20 комплектов

Задача посложнее

Сколько различных шифров можно составить из 3 различных букв русского алфавита (33 буквы), если буквы не повторяются?

Показать решение

33 × 32 × 31 = 32736 шифров

Задача с ограничением

Сколько существует трехзначных чисел, больше 500, составленных из цифр 1, 2, 3, 4, 5, если цифры не повторяются?

Показать решение

Первая цифра должна быть 5 (только она дает число больше 500).

1 × 4 × 3 = 12 чисел

---

🎓 Подводим итоги

• Правило умножения: n × m × k × ... способов выбрать несколько объектов
• Применяем, когда выбираем элементы из разных групп
• Выбор происходит последовательно
• Если есть ограничения — начинаем с самого ограниченного элемента
• Когда элементы не повторяются — количество вариантов уменьшается

✨ Правило умножения — это твой надежный помощник в решении комбинаторных задач! Тренируйся, и скоро ты будешь щелкать их как орешки! 🥜