Преобразование выражений со степенями
Что такое степень и зачем она нужна
Давай начнем с самого главного — что же такое степень числа? 🤔
Степень — это удобный способ записывать умножение одинаковых чисел. Например:
5 × 5 × 5 = 5³ (читается как "пять в третьей степени")
Здесь 5 — это основание, а 3 — показатель степени.
Степени помогают упрощать записи длинных вычислений и решать сложные задачи. Они встречаются везде: в физике, экономике, компьютерных науках!
Основные свойства степеней
Чтобы уверенно работать со степенями, нужно знать несколько важных правил. Запомни их — они станут твоими верными помощниками! 📘
Умножение степеней с одинаковыми основаниями
При умножении степеней с одинаковыми основаниями показатели складываются:
aⁿ × aᵐ = aⁿ⁺ᵐ
Пример:
2³ × 2⁴ = 2³⁺⁴ = 2⁷ = 128
Деление степеней с одинаковыми основаниями
При делении степеней с одинаковыми основаниями показатели вычитаются:
aⁿ ÷ aᵐ = aⁿ⁻ᵐ
Пример:
5⁶ ÷ 5² = 5⁶⁻² = 5⁴ = 625
Степень степени
При возведении степени в степень показатели перемножаются:
(aⁿ)ᵐ = aⁿ×ᵐ
Пример:
(3²)⁴ = 3²×⁴ = 3⁸ = 6561
Произведение и частное в степени
Степень произведения и степень частного:
(a × b)ⁿ = aⁿ × bⁿ
(a ÷ b)ⁿ = aⁿ ÷ bⁿ
Примеры:
(2 × 3)³ = 2³ × 3³ = 8 × 27 = 216(10 ÷ 2)² = 10² ÷ 2² = 100 ÷ 4 = 25
Особые случаи, которые важно помнить
| Правило | Пример |
|---|---|
| Любое число в нулевой степени равно 1 | 7⁰ = 1 |
| Единица в любой степени равна 1 | 1¹⁵ = 1 |
| Ноль в любой положительной степени равен 0 | 0⁵ = 0 |
| Отрицательная степень — это обратное число | 2⁻³ = 1 ÷ 2³ = 1/8 |
💡 Совет: Заведи отдельную тетрадку для этих правил и периодически повторяй их. Со временем ты будешь помнить их автоматически!
Пошаговое решение задач
Теперь давай посмотрим, как применять эти правила на практике. Решим несколько задач вместе! 🎯
Задача 1: Упростить выражение
Условие: Упростите выражение: (2³ × 2⁵) ÷ 2⁴
Решение:
- Сначала упростим числитель:
2³ × 2⁵ = 2³⁺⁵ = 2⁸ - Теперь делим:
2⁸ ÷ 2⁴ = 2⁸⁻⁴ = 2⁴ - Вычисляем:
2⁴ = 16
Ответ: 16
Задача 2: Возведение в степень
Условие: Вычислите: (5²)³ × 5⁻⁴
Решение:
- Сначала возводим в степень:
(5²)³ = 5²×³ = 5⁶ - Теперь умножаем:
5⁶ × 5⁻⁴ = 5⁶⁻⁴ = 5² - Вычисляем:
5² = 25
Ответ: 25
Задача 3: Работа с дробями
Условие: Упростите: (3⁴ × 2⁴) ÷ 6²
Решение:
- Замечаем, что
3⁴ × 2⁴ = (3 × 2)⁴ = 6⁴ - Теперь делим:
6⁴ ÷ 6² = 6⁴⁻² = 6² - Вычисляем:
6² = 36
Ответ: 36
Типичные ошибки и как их избежать
Давай разберем самые распространенные ошибки, которые допускают ученики: ⚠️
- Сложение показателей при умножении оснований: Помни, что
aⁿ × bⁿ = (a × b)ⁿ, ноaⁿ × aᵐ = aⁿ⁺ᵐ— не путай эти правила! - Вычитание показателей без учета порядка: При делении из показателя делимого вычитается показатель делителя:
aⁿ ÷ aᵐ = aⁿ⁻ᵐ - Забываем про отрицательные степени:
a⁻ⁿ = 1 ÷ aⁿ— это очень полезное правило! - Неправильно применяем степень к произведению:
(a × b)ⁿ = aⁿ × bⁿ, а неaⁿ × b
🎓 Профессиональный совет: Всегда проверяй, одинаковые ли основания у степеней, прежде чем применять правила. Это поможет избежать большинства ошибок!
Практикуемся вместе
Теперь твоя очередь попрактиковаться! Реши эти задачи, сверяясь с нашими правилами. ✍️
Задание 1
Упростите выражение: 4³ ÷ 4² × 4⁵
Показать решение
4³ ÷ 4² × 4⁵ = 4³⁻² × 4⁵ = 4¹ × 4⁵ = 4¹⁺⁵ = 4⁶ = 4096
