Сложение вероятностей несовместных событий

🎯 Что такое несовместные события?

Представьте, что вы бросаете игральный кубик. Можете ли вы одновременно выбросить и тройку, и пятёрку? Конечно нет! События, которые не могут произойти одновременно, называются несовместными.

Другими словами, если произошло одно, другое произойти уже не может. Они как соперники — один всегда вытесняет другого.

💡 Запомни: События A и B называются несовместными, если они не могут произойти вместе в одном и том же испытании.

Вот несколько примеров:

При броске монетки: выпал «орёл» ➕ выпала «решка»
На экзамене: получил «5» ➕ получил «4»
В коробке карандашей: вытащил красный ➕ вытащил синий (если карандаш может быть только одного цвета)

🧮 Формула сложения вероятностей

Когда события не могут произойти вместе, найти вероятность того, что случится либо одно, либо другое, очень просто. Их вероятности нужно сложить!

Это главное правило, которое сегодня нам предстоит освоить.

P(A + B) = P(A) + P(B)

Где:

P(A + B) — вероятность того, что наступит или событие A, или событие B.
P(A) — вероятность события A.
P(B) — вероятность события B.

📘 Важно: Эта формула работает только для несовместных событий! Если события могут произойти вместе, нужно пользоваться другой формулой, но об этом мы поговорим в другой раз.

🔍 Разбираемся на примерах

Давайте закрепим теорию на практических задачах. Главное — всегда сначала определять, являются ли события несовместными.

Задача 1. Бросок кубика

Условие: Какова вероятность выбросить на игральном кубике или 2, или 5?

Решение:

Событие A: выпала 2. Вероятность: P(A) = 1/6
Событие B: выпала 5. Вероятность: P(B) = 1/6
Могут ли эти события произойти одновременно? Нет, кубик может упасть только на одну грань. Значит, события несовместны.
Применяем формулу: P(A + B) = P(A) + P(B) = 1/6 + 1/6 = 2/6 = 1/3

Ответ: Вероятность равна 1/3.

Задача 2. Цветные шары

Условие: В корзине 5 синих, 3 красных и 2 зелёных шара. Какова вероятность вытануть синий или красный шар?

Решение:

Найдём общее число шаров: 5 + 3 + 2 = 10
Событие A: вытащили синий шар. Вероятность: P(A) = 5/10 = 1/2
Событие B: вытащили красный шар. Вероятность: P(B) = 3/10
Шар не может быть одновременно и синим, и красным. События несовместны.
Применяем формулу: P(A + B) = P(A) + P(B) = 5/10 + 3/10 = 8/10 = 4/5

Ответ: Вероятность равна 4/5.

📊 Когда формула НЕ работает

Очень важно понимать, когда нельзя просто складывать вероятности. Давайте рассмотрим контрпример.

Задача 3. Карты

Условие: Из колоды в 36 карт наугад вынимается одна карта. Какова вероятность, что это бубновая карта или дама?

Анализ: Сначала кажется, что это несовместные события. Но остановитесь и подумайте! А дама бубен? Она является и бубновой картой, и дамой одновременно. Это значит, что события могут произойти вместе! Они совместны.

В этом случае наша формула P(A + B) = P(A) + P(B) не подходит, так как она посчитает даму бубен дважды: один раз как бубновую карту, второй — как даму. Это ошибка!

🔺 Внимание: Всегда проверяйте, нет ли среди событий таких, которые могут произойти одновременно. Если есть — события совместны, и наша сегодняшняя формула не применяется.

💪 Практикуемся самостоятельно

Попробуйте решить эти задачи, чтобы уверенно применять новое правило.

Задача для решения 1

В лотерее из 100 билетов 10 выигрышных. Какова вероятность того, что купленный билет окажется без выигрыша?

Показать решение

Событие A: билет выигрышный. P(A) = 10/100 = 0.1

Нам нужно найти вероятность противоположного события: билет без выигрыша. Противоположные события всегда несовместны!

Вероятность противоположного события: P(не A) = 1 - P(A) = 1 - 0.1 = 0.9

Ответ: 0.9

Задача для решения 2

В классе 20 учеников. Из них 12 девочек и 8 мальчиков. Какова вероятность того, что к доске выйдет или первая девочка в списке, или первый мальчик в списке?

Показать решение

Событие A: вышла первая девочка. P(A) = 1/20 (так как конкретный человек)

Событие B: вышел первый мальчик. P(B) = 1/20

Один человек не может быть одновременно и первой девочкой, и первым мальчиком. События несовместны.

Применяем формулу: P(A + B) = 1/20 + 1/20 = 2/20 = 1/10

Ответ: 1/10