Сочетания: определение и формула

Что такое сочетания?

Представь, что у тебя есть набор разных предметов, и тебе нужно выбрать несколько из них, но порядок выбора не важен. Вот это и есть сочетания! 🎯

Сочетания — это способ выбрать k элементов из множества из n элементов, где порядок выбранных элементов не имеет значения.

💡 Простой пример: выбираем команду из 3 человек из 5 друзей. Неважно, в каком порядке мы их называем — главное, кто вошёл в команду!

Чем сочетания отличаются от размещений?

Это очень важный момент! Давай разберёмся на примере.

Ситуация	Порядок важен?	Это сочетания или размещения?
Выбрать двоих дежурных	Нет	Сочетания
Выбрать старосту и его помощника	Да	Размещения

📌 Запомни: если при перестановке выбранных элементов получается новый вариант — это размещения. Если вариант остаётся тем же — это сочетания.

---

Формула числа сочетаний

Число сочетаний из n по k обозначается C(n, k) или Ckn и вычисляется по формуле:

C(n, k) = n! / (k! * (n - k)!)

Где n! (читается «эн факториал») — это произведение всех натуральных чисел от 1 до n.

Например:

• 5! = 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 120
• 3! = 3 * 2 * 1 = 6
• 0! = 1 (по определению)

🧠 Совет: формулу можно понять так. Сначала мы находим все размещения (где порядок важен), а потом делим на k!, чтобы «убрать» все перестановки внутри выбранной группы.

Решаем задачи шаг за шагом

Задача 1

В классе 20 человек. Сколькими способами можно выбрать трёх человек для участия в олимпиаде?

Решение:

1. Порядок выбора не важен (главное — кто поедет на олимпиаду), значит, это сочетания.
2. Используем формулу: C(20, 3) = 20! / (3! * (20 - 3)!) = 20! / (3! * 17!)
3. Упрощаем: 20! / (3! * 17!) = (18 * 19 * 20) / (1 * 2 * 3)
4. Считаем: 18 * 19 = 342, 342 * 20 = 6840, 6840 / 6 = 1140

Ответ: 1140 способов.

Задача 2

В вазе лежат 8 различных фруктов. Сколькими способами можно взять 4 фрукта?

Решение:

1. Порядок выбора не важен — просто набор фруктов.
2. C(8, 4) = 8! / (4! * (8 - 4)!) = 8! / (4! * 4!)
3. Упрощаем: (5 * 6 * 7 * 8) / (1 * 2 * 3 * 4)
4. Считаем: 5 * 6 = 30, 30 * 7 = 210, 210 * 8 = 1680
5. Делим: 1680 / 24 = 70

Ответ: 70 способов.

---

Важные свойства сочетаний

У сочетаний есть несколько полезных свойств, которые помогают в вычислениях:

• C(n, 0) = 1 — есть только один способ ничего не выбрать.
• C(n, 1) = n — способов выбрать один элемент из n.
• C(n, k) = C(n, n - k) — выбрать k элементов или не выбрать n - k — одно и то же!

✨ Например, C(10, 8) вычислить сложно. Но по свойству C(10, 8) = C(10, 2), а это уже гораздо проще: 10 * 9 / 2 = 45.

Проверь себя

Задача для самостоятельного решения

В школьной библиотеке есть 15 разных книг о путешествиях. Катя хочет взять почитать 2 книги. Сколько у неё есть вариантов выбора?

Показать решение

1. Порядок выбора не важен (главное — какие две книги), значит, используем сочетания.
2. C(15, 2) = 15! / (2! * (15 - 2)!) = 15! / (2! * 13!)
3. Упрощаем: (14 * 15) / (1 * 2)
4. Считаем: 14 * 15 = 210, 210 / 2 = 105

Ответ: 105 вариантов.

---

Итоги урока

• ➡️ Сочетания — это выбор элементов, где порядок не важен.
• ➡️ Формула: C(n, k) = n! / (k! * (n - k)!)
• ➡️ Сочетания используются, когда важно только что выбрано, а не в каком порядке.
• ➡️ Не путай сочетания с размещениями! 🚨

🎉 Поздравляю! Теперь ты знаешь, как считать сочетания. Эта тема пригодится не только в математике, но и в теории вероятностей, информатике и даже в жизни!

Удачи в дальнейшем изучении математики! Ты прекрасно справляешься! 💪📘