Степенная функция с натуральным показателем

Что такое степенная функция? 🎯

Представь себе обычную линейную функцию y = x — это прямая линия. А теперь давай возводить x в разные степени! Это и есть степенная функция.

Степенная функция с натуральным показателем — это функция вида:

y = xⁿ

где:

• x — переменная (аргумент)
• n — натуральное число (1, 2, 3...)
• y — значение функции

💡 Натуральный показатель — это просто целое положительное число. Никаких дробей и минусов!

Свойства степенной функции 📘

Давай рассмотрим основные свойства на примерах:

Свойство	n — нечетное	n — четное
Область определения	Все действительные числа: (-∞; +∞)
Область значений	Все действительные числа: (-∞; +∞)	Неотрицательные числа: [0; +∞)
Четность	Нечетная: f(-x) = -f(x)	Четная: f(-x) = f(x)
Монотонность	Возрастает на всей области определения	Убывает при x < 0, возрастает при x > 0

🎓 Запомни: при четном n график симметричен относительно оси Y, а при нечетном — относительно начала координат!

Графики степенных функций 📈

Давай построим графики для разных показателей степени:

Для n = 1: y = x — обычная прямая

Для n = 2: y = x² — знакомая тебе парабола

Для n = 3: y = x³ — кубическая парабола

Чем больше показатель степени, тем круче идет график!

Как строить графики? 🛠️

Давай научимся строить график функции y = x³:

1. Составим таблицу значений:

x	-2	-1	0	1	2
y = x³	-8	-1	0	1	8

2. Отметим точки на координатной плоскости
3. Плавно соединим их — получим кубическую параболу

📏 Совет: всегда отмечай точки с отрицательными значениями x — они помогут понять симметрию графика!

---

Решаем задачи вместе! 🧮

Давай закрепим знания на практике:

Задача 1

Построй график функции y = x⁴ и определи ее свойства.

Решение:

1. Составим таблицу значений:

   x	-2	-1	0	1	2
   y = x⁴	16	1	0	1	16

2. Отмечаем точки: (-2;16), (-1;1), (0;0), (1;1), (2;16)
3. Соединяем плавной линией — получаем параболу
4. Свойства:
   • Область определения: все действительные числа
   • Область значений: [0; +∞)
   • Функция четная
   • Убывает при x < 0, возрастает при x > 0

Задача 2

Сравни числа: 3⁵ и 5³

Решение:

1. Вычислим значения:

   3⁵ = 3 × 3 × 3 × 3 × 3 = 243

   5³ = 5 × 5 × 5 = 125

2. Сравниваем: 243 > 125
3. Ответ: 3⁵ > 5³

---

Практикуемся дальше ✍️

Попробуй решить самостоятельно:

1. Построй график функции y = x² и y = x³ на одной координатной плоскости. Что общего и чем они отличаются?
2. Вычисли: 2⁶ + 3⁴ - 5²
3. Определи, является ли функция y = x⁷ четной или нечетной?

💪 Не пропускай практические задания — они помогают лучше понять тему!

Важные моменты для запоминания 🔍

• Степенная функция имеет вид y = xⁿ, где n — натуральное число
• При четном n график симметричен относительно оси Y
• При нечетном n график симметричен относительно начала координат
• Чем больше показатель степени, тем круче график
• Все графики проходят через точки (0;0) и (1;1)

🌈 Математика — это красиво! Степеные функции окружают нас повсюду: в физике, экономике, компьютерной графике. Умение работать с ними открывает многие двери!