Свойства арифметического корня n-й степени
Что такое арифметический корень?
Давайте вспомним основы! Арифметический корень n-й степени из неотрицательного числа a — это такое неотрицательное число, при возведении в степень n дающее a.
🎯 Запомните: подкоренное выражение всегда ≥ 0, а значение корня тоже всегда ≥ 0!
Обозначение: ⁿ√a, где:
- n — показатель корня (натуральное число ≥ 2)
- a — подкоренное выражение (a ≥ 0)
Примеры:
√16 = 4, потому что 4² = 16 ∛8 = 2, потому что 2³ = 8 ⁴√81 = 3, потому что 3⁴ = 81
Основные свойства арифметического корня
Теперь перейдем к самым важным свойствам, которые помогут нам работать с корнями!
Свойство 1: Корень из произведения
Корень n-й степени из произведения равен произведению корней n-й степени:
ⁿ√(a * b) = ⁿ√a * ⁿ√b
Пример:
√(25 * 9) = √25 * √9 = 5 * 3 = 15
Это свойство работает только для умножения!
Свойство 2: Корень из частного
Корень n-й степени из частного равен частному корней n-й степени:
ⁿ√(a / b) = ⁿ√a / ⁿ√b (при b ≠ 0)
Пример:
√(64 / 16) = √64 / √16 = 8 / 4 = 2
Свойство 3: Корень из степени
При возведении корня в степень или извлечении корня из степени:
(ⁿ√a)ᵐ = ⁿ√(aᵐ) ⁿ√(aᵐ) = (ⁿ√a)ᵐ
Пример:
(√9)² = √(9²) = √81 = 9
Свойство 4: Корень из корня
Чтобы извлечь корень из корня, нужно перемножить показатели корней:
ᵐ√(ⁿ√a) = ᵐ*ⁿ√a
Пример:
√(∛64) = √4 = 2 или ⁶√64 = 2, так как 2⁶ = 64
💡 Совет: Когда показатели корней умножаются, это похоже на складывание матрешек — одна операция внутри другой!
Таблица свойств арифметического корня
| Свойство | Формула | Пример |
|---|---|---|
| Произведение | ⁿ√(a·b) = ⁿ√a · ⁿ√b |
√(4·9) = √4 · √9 = 2·3 = 6 |
| Частное | ⁿ√(a/b) = ⁿ√a / ⁿ√b |
∛(8/27) = ∛8 / ∛27 = 2/3 |
| Степень | (ⁿ√a)ᵐ = ⁿ√(aᵐ) |
(√4)³ = √(4³) = √64 = 8 |
| Корень из корня | ᵐ√(ⁿ√a) = ᵐ*ⁿ√a |
√(∛64) = ⁶√64 = 2 |
Важные ограничения
Запомните эти ограничения, чтобы избежать ошибок:
- ❌ Нельзя извлекать корень четной степени из отрицательного числа
- ❌ Свойства не работают для сложения и вычитания:
√(a + b) ≠ √a + √b - ✅ Все свойства работают только при допустимых значениях переменных
Практические задачи
Задача 1: Упростите выражение
Условие: √50 + √18 - √8
Решение:
- Разложим на множители:
√(25·2) + √(9·2) - √(4·2) - Вынесем множители:
5√2 + 3√2 - 2√2 - Сложим подобные:
(5 + 3 - 2)√2 = 6√2
Ответ: 6√2
Задача 2: Вычислите
Условие: ∛(125 · 64)
Решение:
- Применим свойство произведения:
∛125 · ∛64 - Вычислим каждый корень:
5 · 4 = 20
Ответ: 20
Задача 3: Упростите выражение
Условие: √(9x⁴) при x ≥ 0
Решение:
- Представим как:
√9 · √(x⁴) - Вычислим:
3 · x²(так как √(x⁴) = x²)
Ответ: 3x²
📘 Помните: При работе с переменными под корнем всегда проверяйте область допустимых значений!
Проверь себя
Попробуйте решить самостоятельно:
- Вычислите:
√(144 · 25) - Упростите:
∛(8x⁶)при x ≥ 0 - Вычислите:
√(81/16) - Упростите:
√12 + √27 - √75
Ответы:
60(√144 = 12, √25 = 5, 12·5 = 60)2x²(∛8 = 2, ∛(x⁶) = x²)9/4(√81 = 9, √16 = 4)0(√12 = 2√3, √27 = 3√3, √75 = 5√3, 2√3 + 3√3 - 5√3 = 0)
Заключение
Сегодня мы изучили важнейшие свойства арифметического корня n-й степени. Эти свойства — мощный инструмент для упрощения выражений и решения сложных задач. Помните, что математика — это как конструктор: зная основные правила, вы можете строить красивые и правильные решения!
✨ Математика — это не просто цифры и формулы, это язык, на котором говорит вся Вселенная. Учитесь понимать этот язык, и перед вами откроются удивительные возможности!
