Дискретные случайные величины: закон распределения

Что такое дискретная случайная величина?

Представьте, что вы подбрасываете монетку 🪙. Она может упасть либо орлом, либо решкой. Это и есть дискретная случайная величина — такая величина, которая принимает отдельные, изолированные значения (в данном случае всего два).

💡 Дискретная случайная величина — это величина, которая принимает конечное или счётное число значений в результате случайного эксперимента.

Другие примеры дискретных случайных величин:

Количество очков при броске игрального кубика 🎲 (1, 2, 3, 4, 5, 6)
Число попаданий в мишень при 10 выстрелах 🎯 (от 0 до 10)
Количество посетителей сайта за час 👨💻 (0, 1, 2, 3, ...)

Важно понимать, что каждое значение такой величины имеет свою вероятность появления!

Закон распределения дискретной случайной величины

Закон распределения — это правило, которое описывает, какие значения может принимать случайная величина и с какими вероятностями.

Самый простой способ представить закон распределения — составить таблицу, где в одной колонке будут указаны все возможные значения величины, а в другой — соответствующие им вероятности.

Давайте рассмотрим это на классическом примере с игральным кубиком:

Значение X (число очков)	Вероятность P(X)
1	1/6
2	1/6
3	1/6
4	1/6
5	1/6
6	1/6

Эта таблица и есть закон распределения для случайной величины "число очков на кубике".

📘 Важное свойство: сумма всех вероятностей всегда равна 1! P(X=1) + P(X=2) + ... + P(X=6) = 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 = 1

Как составить закон распределения

Давайте разберём пошаговый алгоритм составления закона распределения:

Определите все возможные значения случайной величины
Для каждого значения вычислите вероятность его появления
Запишите результаты в таблицу
Проверьте, что сумма всех вероятностей равна 1

Рассмотрим практический пример:

Задача 1: Две монеты

Подбрасываем две монеты одновременно. Случайная величина X — количество выпавших орлов. Составьте закон распределения.

Решение:

Шаг 1: Определим все возможные значения

X может принимать значения: 0, 1, 2

Шаг 2: Найдём вероятности для каждого значения

P(X=0) = вероятность, что оба раза решка = 1/2 × 1/2 = 1/4
P(X=2) = вероятность, что оба раза орёл = 1/2 × 1/2 = 1/4
P(X=1) = вероятность, что один орёл и одна решка = 1 - 1/4 - 1/4 = 1/2

Шаг 3: Составим таблицу распределения

X (число орлов)	P(X)
0	0.25
1	0.5
2	0.25

Шаг 4: Проверим сумму вероятностей

0.25 + 0.5 + 0.25 = 1 ✅

Графическое представление распределения

Закон распределения можно также представить графически с помощью полигона распределения — это ломаная линия, соединяющая точки с координатами (значение, вероятность).

Для нашего примера с двумя монетами график будет выглядеть как треугольник с вершиной в точке (1, 0.5).

📊 Визуализация помогает лучше понять характер распределения и быстро определить наиболее вероятные значения.

Задача 2: Стрелок в тире

Стрелок попадает в мишень с вероятностью 0.7. Он делает 3 выстрела. Случайная величина X — количество попаданий. Составьте закон распределения.

Решение:

Шаг 1: Возможные значения: 0, 1, 2, 3

Шаг 2: Вычислим вероятности по формуле Бернулли:

P(X=0) = (0.3)^3 = 0.027
P(X=1) = 3 × 0.7 × (0.3)^2 = 3 × 0.7 × 0.09 = 0.189
P(X=2) = 3 × (0.7)^2 × 0.3 = 3 × 0.49 × 0.3 = 0.441
P(X=3) = (0.7)^3 = 0.343

Шаг 3: Составим таблицу:

X (попадания)	P(X)
0	0.027
1	0.189
2	0.441
3	0.343

Шаг 4: Проверим сумму:

0.027 + 0.189 + 0.441 + 0.343 = 1.000 ✅

Мы видим, что наиболее вероятно попасть 2 раза из 3 — это подтверждает нашу интуицию, так как вероятность попадания высокая.

Почему это важно для Data Science?

В анализе данных мы часто работаем с дискретными величинами:

Количество покупок на сайте 🛒
Число кликов по рекламе
Количество отказов от подписки
Рейтинги продуктов (1, 2, 3, 4, 5 звёзд) ⭐