Доверительные интервалы: построение и интерпретация

Что такое доверительный интервал и зачем он нужен?

Представьте, что вы пытаетесь угадать рост человека, которого никогда не видели. Вы вряд ли назовете точное число (например, 182.3 см), но сможете сказать: «Рост между 175 и 190 см». Доверительный интервал в статистике работает похожим образом! 📏

Это диапазон значений, который с заданной вероятностью (уровнем доверия) накрывает истинный параметр генеральной совокупности (например, среднее значение или долю). Мы используем выборочные данные, чтобы оценить неизвестный параметр всей популяции.

💡 Ключевая идея: мы никогда не знаем истинное значение наверняка (если не изучим всю популяцию), но можем построить «коридор» значений, где оно likely находится.

Основные компоненты доверительного интервала

• Точечная оценка ➕ — значение, вычисленное по выборке (например, выборочное среднее X̄)
• Предельная ошибка 🔺 — «полуширина» интервала, которая зависит от:
  • Изменчивости данных
  • Размера выборки
  • Выбранного уровня доверия
• Уровень доверия 🎯 (например, 95%) — вероятность того, что метод построения даст интервал, содержащий истинный параметр

⚠️ Важно: 95% доверия НЕ означает, что истинный параметр с вероятностью 95% лежит в вашем конкретном интервале. Это означает, что если бы мы многократно повторяли выборку и строили интервалы, то 95% из них содержали бы истинное значение.

---

Построение доверительного интервала для среднего (известная дисперсия)

Это классический случай, который помогает понять логику. Предположим, мы знаем стандартное отклонение генеральной совокупности σ.

Формула для доверительного интервала выглядит так:

X̄ ± Z * (σ / √n)

Где:

• X̄ — выборочное среднее
• Z — Z-критическое значение, соответствующее выбранному уровню доверия
• σ — стандартное отклонение генеральной совокупности
• n — объем выборки

Распространенные Z-критические значения:

Уровень доверия	Z-значение (прибл.)
90%	1.645
95%	1.96
99%	2.576

🔢 Практическая задача 1

Условие: Фабрика производит шарики. Известно, что стандартное отклонение диаметра шариков в партии составляет σ = 0.2 см. Мы взяли случайную выборку из n = 50 шариков и вычислили средний диаметр X̄ = 5.1 см. Постройте 95% доверительный интервал для истинного среднего диаметра всех шариков.

Решение:

1. Уровень доверия = 95%, значит Z = 1.96
2. Стандартная ошибка среднего: σ / √n = 0.2 / √50 ≈ 0.2 / 7.07 ≈ 0.0283
3. Предельная ошибка: Z * (σ / √n) = 1.96 * 0.0283 ≈ 0.0555
4. Доверительный интервал: 5.1 ± 0.0555
5. Округляем: [5.0445, 5.1555] или примерно [5.04 см, 5.16 см]

Интерпретация: Мы на 95% уверены, что истинный средний диаметр всех шариков на фабрике лежит между 5.04 см и 5.16 см.

---

Более реалистичный случай: неизвестная дисперсия

На практике мы редко знаем σ (стандартное отклонение генеральной совокупности). В этом случае мы используем выборочное стандартное отклонение s и t-распределение Стьюдента вместо нормального.

Формула меняется на:

X̄ ± t * (s / √n)

Критическое значение t зависит от уровня доверия и числа степеней свободы df = n - 1. t-распределение более «тяжелохвостое», что дает более широкие интервалы при малых выборках, компенсируя дополнительную неопределенность.

📘 Совет: При n > 30 t-распределение очень близко к нормальному, и часто используют Z-значения как приближение.

🔢 Практическая задача 2

Условие: Мы хотим оценить среднее время доставки пиццы. По выборке из n = 20 заказов: X̄ = 28 мин, s = 5 мин. Постройте 90% доверительный интервал.

Решение:

1. Степени свободы df = n - 1 = 19
2. Для 90% доверия и df = 19 находим по таблице t-распределения: t ≈ 1.729
3. Стандартная ошибка: s / √n = 5 / √20 ≈ 5 / 4.47 ≈ 1.118
4. Предельная ошибка: t * (s / √n) = 1.729 * 1.118 ≈ 1.933
5. Доверительный интервал: 28 ± 1.933
6. Округляем: [26.067 мин, 29.933 мин]

Интерпретация: Мы на 90% уверены, что истинное среднее время доставки лежит между примерно 26.1 и 29.9 минут.