Корреляция: коэффициент Пирсона, Спирмена

Что такое корреляция? 🤝

Корреляция — это статистическая мера, которая описывает силу и направление связи между двумя переменными. Представьте, что вы изучаете, как рост человека связан с его весом. Обычно, чем выше рост, тем больше вес. Это и есть корреляция — она не говорит о причинно-следственной связи, но показывает, насколько изменения одной переменной сопровождаются изменениями другой.

Сегодня мы разберем два самых популярных коэффициента корреляции: Пирсона и Спирмена. Они помогут вам количественно оценить эти связи в ваших данных!

Коэффициент корреляции Пирсона (r) 📏

Этот коэффициент измеряет линейную связь между двумя непрерывными переменными. Он показывает, насколько хорошо данные аппроксимируются прямой линией.

Его значения всегда находятся в диапазоне от -1 до 1:

🎯 +1: Идеальная положительная линейная связь
📉 -1: Идеальная отрицательная линейная связь
🔍 0: Отсутствие линейной связи

Формула для расчета коэффициента Пирсона:

r = Σ[(X_i - X̄)(Y_i - Ȳ)] / √[Σ(X_i - X̄)² * Σ(Y_i - Ȳ)²]

Где:

X_i, Y_i - отдельные значения переменных
X̄, Ȳ - средние значения переменных

💡 Совет: Используйте коэффициент Пирсона, когда ваши данные распределены нормально и связь между переменными близка к линейной.

Пример расчета коэффициента Пирсона

Допустим, мы изучаем связь между временем учебы и результатами экзамена:

Студент	Время учебы (часы)	Оценка на экзамене
А	5	60
Б	8	75
В	12	90
Г	3	50
Д	10	85

После расчетов получаем коэффициент Пирсона r = 0.98. Это указывает на очень сильную положительную линейную связь между временем учебы и результатом экзамена.

Коэффициент корреляции Спирмена (ρ) 🔄

Это непараметрическая мера корреляции, которая оценивает монотонную связь между переменными. Она основана на рангах значений, а не на самих значениях.

Коэффициент Спирмена также колеблется от -1 до 1 с аналогичной интерпретацией:

📈 +1: Идеальная монотонная возрастающая связь
📉 -1: Идеальная монотонная убывающая связь
🔍 0: Отсутствие монотонной связи

Формула для расчета коэффициента Спирмена:

ρ = 1 - [6Σd² / (n(n² - 1))]

Где:

d - разность между рангами соответствующих значений
n - количество наблюдений

💡 Совет: Используйте коэффициент Спирмена, когда данные не нормально распределены, содержат выбросы или связь нелинейна, но монотонна.

Пример расчета коэффициента Спирмена

Возьмем те же данные, но теперь проранжируем их:

Студент	Ранг времени	Ранг оценки
А	2	2
Б	3	3
В	5	5
Г	1	1
Д	4	4

Сумма d² = 0, поэтому:

ρ = 1 - [6×0 / (5×(25-1))] = 1 - 0 = 1

Мы получили идеальную положительную монотонную связь!

Сравнение коэффициентов Пирсона и Спирмена 🔍

Критерий	Пирсон	Спирмен
Тип связи	Линейная	Монотонная
Основа расчета	Исходные значения	Ранги значений
Устойчивость к выбросам	Низкая	Высокая
Требования к данным	Нормальное распределение	Нет требований
Когда использовать	Линейные отношения	Нелинейные монотонные отношения