Математическое ожидание и дисперсия дискретной случайной величины

Что такое случайная величина? 🎲

Прежде чем говорить о математическом ожидании, давайте разберемся с понятием случайной величины. Это не просто число, а величина, которая принимает различные значения в зависимости от случайного исхода.

Представьте, что вы бросаете игральный кубик. Выпавшее число (от 1 до 6) — это и есть значение дискретной случайной величины. "Дискретной" она называется потому, что может принимать только отдельные, конкретные значения.

💡 Дискретная случайная величина — это величина, которая принимает отдельные, изолированные значения с определенными вероятностями.

Математическое ожидание: среднее значение 📊

Математическое ожидание — это среднее значение, которое мы ожидаем получить при многократном повторении эксперимента. Другими словами, это взвешенное среднее всех возможных значений, где весами служат вероятности этих значений.

Формула математического ожидания дискретной случайной величины X:

E[X] = x₁·p₁ + x₂·p₂ + ... + xₙ·pₙ

Где:
• x₁, x₂, ..., xₙ — возможные значения величины
• p₁, p₂, ..., pₙ — вероятности этих значений

Давайте рассмотрим простой пример с игральным кубиком:

Значение (x)	Вероятность (p)	x·p
1	1/6	1/6
2	1/6	2/6
3	1/6	3/6
4	1/6	4/6
5	1/6	5/6
6	1/6	6/6

Суммируем все x·p:

E[X] = 1/6 + 2/6 + 3/6 + 4/6 + 5/6 + 6/6 = 21/6 = 3.5

Таким образом, математическое ожидание выпавшего числа на кубике равно 3.5.

---

Дисперсия: мера разброса 🔺

Теперь поговорим о дисперсии. Если математическое ожидание показывает "центр" распределения, то дисперсия показывает, насколько значения случайной величины отклоняются от этого центра.

Формула дисперсии дискретной случайной величины:

Var(X) = E[(X - E[X])²]

Или в более удобной для вычислений форме:

Var(X) = E[X²] - (E[X])²

Давайте вычислим дисперсию для нашего кубика. Сначала найдем E[X²]:

Значение (x)	x²	Вероятность (p)	x²·p
1	1	1/6	1/6
2	4	1/6	4/6
3	9	1/6	9/6
4	16	1/6	16/6
5	25	1/6	25/6
6	36	1/6	36/6

Суммируем все x²·p:

E[X²] = 1/6 + 4/6 + 9/6 + 16/6 + 25/6 + 36/6 = 91/6 ≈ 15.167

Мы уже знаем, что E[X] = 3.5, значит (E[X])² = 12.25

Теперь вычисляем дисперсию:

Var(X) = 15.167 - 12.25 = 2.917

📘 Запомните: дисперсия всегда неотрицательна! Чем больше дисперсия, тем больше разброс значений вокруг среднего.

---

Практические задачи 🧮

Задача 1: Монетка

Рассмотрим бросок монетки. Если выпадает "орел", вы получаете 10 рублей, если "решка" — теряете 5 рублей. Найдите математическое ожидание выигрыша.

Решение:

1. Определяем возможные значения и их вероятности:
   • x₁ = 10 (выигрыш), p₁ = 0.5
   • x₂ = -5 (проигрыш), p₂ = 0.5
2. Вычисляем математическое ожидание:

   E[X] = 10×0.5 + (-5)×0.5 = 5 - 2.5 = 2.5

Математическое ожидание выигрыша равно 2.5 рубля.

Задача 2: Лотерейный билет

Лотерейный билет стоит 50 рублей. С вероятностью 0.01 вы выигрываете 1000 рублей, с вероятностью 0.1 — 100 рублей, а в остальных случаях не выигрываете ничего. Найдите математическое ожидание и дисперсию выигрыша.

Решение:

1. Сначала найдем вероятности всех исходов:
   • Выигрыш 1000 руб: p = 0.01
   • Выигрыш 100 руб: p = 0.1
   • Выигрыш 0 руб: p = 1 - 0.01 - 0.1 = 0.89
2. Вычисляем математическое ожидание:

   E[X] = 1000×0.01 + 100×0.1 + 0×0.89 = 10 + 10 + 0 = 20

3. Находим E[X²]:

   E[X²] = 1000²×0.01 + 100²×0.1 + 0²×0.89 = 10000×0.01 + 10000×0.1 + 0 = 100 + 1000 = 1100

4. Вычисляем дисперсию:

   Var(X) = E[X²] - (E[X])² = 1100 - 20² = 1100 - 400 = 700

---

Свойства математического ожидания и дисперсии 📝

Важные свойства, которые помогут вам в вычислениях:

Для математического ожидания:

• E[a] = a (математическое ожидание константы равно самой константе)
• E[aX + b] = a·E[X] + b (линейность)
• E[X + Y] = E[X] + E[Y] (математическое ожидание суммы равно сумме математических ожиданий)