Матричная алгебра: операции с матрицами

Что такое матрица и основные обозначения

Матрица — это прямоугольная таблица чисел, упорядоченных в строках и столбцах. В Data Science матрицы используются для представления данных, преобразований и многого другого!

Матрицу принято обозначать заглавной буквой, а ее элементы — строчными с индексами:

A = [a₁₁ a₁₂]
    [a₂₁ a₂₂]

Где первый индекс указывает на номер строки, второй — на номер столбца.

💡 Совет: Представьте матрицу как электронную таблицу Excel — те же строки и столбцы, только работаем мы с ними по математическим правилам.

Сложение и вычитание матриц

Складывать и вычитать можно только матрицы одинакового размера! Правило простое: складываем/вычитаем соответствующие элементы.

Пример сложения:

A = [1 3]    B = [2 4]    A + B = [1+2 3+4] = [3 7]
    [5 2]        [1 3]          [5+1 2+3]   [6 5]

Свойства сложения матриц:

Коммутативность: A + B = B + A
Ассоциативность: (A + B) + C = A + (B + C)
Существование нулевой матрицы: A + 0 = A

Умножение матрицы на число

Умножаем каждый элемент матрицы на это число — всё просто! 🎯

k = 3,   A = [1 4]    k * A = [3*1 3*4] = [3 12]
            [2 5]          [3*2 3*5]   [6 15]

Это называется скалярным умножением. Часто используется для масштабирования данных.

Умножение матриц ➕

А вот это уже интереснее! Умножать матрицы не так просто, как числа. Главное правило:

Количество столбцов первой матрицы должно равняться количеству строк второй матрицы!

Размер результата: A[m×n] * B[n×k] = C[m×k]

Каждый элемент новой матрицы вычисляется как сумма произведений элементов строки первой матрицы на элементы столбца второй матрицы:

cᵢⱼ = aᵢ₁b₁ⱼ + aᵢ₂b₂ⱼ + ... + aᵢₙbₙⱼ

Разберем на примере:

A = [1 2]   B = [5 6]   A*B = [1*5+2*7 1*6+2*8] = [19 22]
    [3 4]       [7 8]         [3*5+4*7 3*6+4*8]   [43 50]

Обратите внимание: A * B ≠ B * A! Умножение матриц не коммутативно.

Транспонирование матрицы 🔺

Транспонирование — это операция, когда строки становятся столбцами, а столбцы — строками. Обозначается верхним индексом T.

A = [1 2 3]   Aᵀ = [1 4]
    [4 5 6]        [2 5]
                   [3 6]

Свойства транспонирования:

(Aᵀ)ᵀ = A
(A + B)ᵀ = Aᵀ + Bᵀ
(kA)ᵀ = kAᵀ
(AB)ᵀ = BᵀAᵀ

Практические задачи

Задача 1: Сложение и умножение на число

Даны матрицы:

A = [2  -1]   B = [0  4]
    [5   3]       [2  1]

Вычислите: 2A + 3B

📘 Решение:

1. Умножим A на 2: 2A = [4 -2]

2. Умножим B на 3: 3B = [0 12]

3. Сложим результаты: 2A + 3B = [4+0 -2+12] = [4 10]

Задача 2: Умножение матриц

Даны матрицы:

A = [1  2]   B = [1  2  3]
    [3  4]       [4  5  6]

Вычислите: A * B

📘 Решение:

1. Проверяем размеры: A[2×2], B[2×3] → результат будет [2×3]

2. Вычисляем элементы:
c₁₁ = 1*1 + 2*4 = 9
c₁₂ = 1*2 + 2*5 = 12
c₁₃ = 1*3 + 2*6 = 15
c₂₁ = 3*1 + 4*4 = 19
c₂₂ = 3*2 + 4*5 = 26
c₂₃ = 3*3 + 4*6 = 33

Результат: [9  12  15]
           [19 26  33]

Задача 3: Транспонирование

Дана матрица:

C = [1  2  3]
    [4  5  6]

Найдите Cᵀ

📘 Решение:

Меняем строки и столбцы местами:
Cᵀ = [1  4]
      [2  5]
      [3  6]

Заключение

Матричная алгебра — фундаментальный инструмент в Data Science. Эти операции лежат в основе многих алгоритмов машинного обучения, обработки изображений и работы с большими данными.

✨ Помните: практика — ключ к пониманию! Решайте больше задач, чтобы уверенно работать с матрицами.