Методы численного анализа: интерполяция, аппроксимация

Что такое интерполяция и аппроксимация?

Представьте, что у вас есть несколько точек данных 📊, и вы хотите узнать, что происходит между ними. Здесь на помощь приходят интерполяция и аппроксимация — два мощных метода численного анализа!

Интерполяция — это построение кривой, которая точно проходит через все заданные точки. Она идеальна, когда данные точны и нет шума.

Аппроксимация — это построение кривой, которая приближается к точкам, но не обязательно проходит через них точно. Она полезна, когда данные содержат ошибки или шум.

💡 Запомните: интерполяция — точное совпадение, аппроксимация — наилучшее приближение!

Методы интерполяции

Рассмотрим три популярных метода интерполяции, которые часто используются в Data Science.

1. Линейная интерполяция

Самый простой метод — соединяем точки прямыми линиями. Формула между двумя точками (x₁, y₁) и (x₂, y₂):

y = y₁ + [(y₂ - y₁)/(x₂ - x₁)] * (x - x₁)

Давайте решим простую задачу:

Задача: Найдите значение y при x=2, если известны точки (1, 3) и (3, 7).

Решение:

1. Подставляем значения в формулу: y = 3 + [(7-3)/(3-1)] * (2-1)
2. Вычисляем: y = 3 + [4/2] * 1
3. Получаем: y = 3 + 2 * 1 = 5

Ответ: при x=2, y=5 ✅

2. Полиномиальная интерполяция

Если нужно провести кривую через несколько точек, используем полиномы. Полином n-й степени может пройти через n+1 точку.

Для трех точек (x₀,y₀), (x₁,y₁), (x₂,y₂) используем квадратичный полином:

y = ax² + bx + c

Коэффициенты a, b, c находятся из системы уравнений:

a*x₀² + b*x₀ + c = y₀
a*x₁² + b*x₁ + c = y₁
a*x₂² + b*x₂ + c = y₂

3. Сплайн-интерполяция

Вместо одного сложного полинома используем несколько простых — это и есть сплайн-интерполяция. Чаще всего применяются кубические сплайны — они дают гладкие кривые.

🎯 Совет: для больших наборов данных сплайны работают лучше полиномов высокой степени, которые могут сильно oscillate (колебаться) между точками.

---

Методы аппроксимации

Когда данные зашумлены или неточны, интерполяция может дать плохие результаты. В этом случае используем аппроксимацию!

Метод наименьших квадратов (МНК)

Самый популярный метод аппроксимации. Идея: найти кривую, которая минимизирует сумму квадратов отклонений от точек данных.

Для линейной аппроксимации y = ax + b находим a и b, которые минимизируют:

S = Σ(yᵢ - (axᵢ + b))²

Давайте решим задачу:

Задача: Найдите линию наилучшего соответствия для точек: (1, 2), (2, 3), (3, 3)

Решение:

1. Составляем систему нормальных уравнений:

   Σy = aΣx + nb
   Σxy = aΣx² + bΣx
   

2. Вычисляем суммы:

   Σx = 1+2+3 = 6
   Σy = 2+3+3 = 8
   Σx² = 1+4+9 = 14
   Σxy = 2+6+9 = 17
   n = 3
   

3. Решаем систему:

   8 = 6a + 3b
   17 = 14a + 6b
   

4. Получаем: a = 0.5, b = 1.67
5. Уравнение: y = 0.5x + 1.67

Полиномиальная аппроксимация

МНК можно обобщить для полиномов любой степени. Для аппроксимации полиномом степени m:

y = a₀ + a₁x + a₂x² + ... + aₘxᵐ

Чем выше степень полинома, тем лучше он приближает данные, но будьте осторожны — слишком высокая степень может привести к переобучению!

Метод	Точность	Устойчивость к шуму	Сложность
Линейная интерполяция	Низкая	Низкая	Простая
Полиномиальная интерполяция	Высокая	Низкая	Средняя
Сплайн-интерполяция	Высокая	Средняя	Сложная
МНК (линейный)	Средняя	Высокая	Простая
МНК (полиномиальный)	Высокая	Высокая	Средняя

---

Практическое применение в Data Science

В Data Science эти методы используются повсеместно:

• 🔄 Восстановление пропущенных значений в данных
• 📈 Сглаживание временных рядов
• 🖼️ Обработка и увеличение изображений
• 📊 Построение графиков и визуализаций
• 🤖 Предобработка данных для машинного обучения

🔥 Важно: всегда анализируйте свои данные перед выбором метода! Интерполяция для точных данных, аппроксимация — для зашумленных.

Заключительная задача

Задача: У вас есть данные о продажах: (1, 100), (2, 120), (4, 140). Пропущены данные для x=3. Восстановите значение двумя способами.