Непрерывные случайные величины: плотность распределения

От дискретных к непрерывным величинам 🎯

Представьте, что вы измеряете рост человека. Он может быть 170 см, 170.1 см, 170.15 см... Бесконечное количество вариантов! Это и есть непрерывная случайная величина — она может принимать любое значение в некотором интервале.

В отличие от дискретных величин, где мы считали вероятность конкретного значения, для непрерывных вероятность одного точного значения (например, рост ровно 170.000... см) стремится к нулю. Поэтому мы работаем с вероятностями попадания в интервал.

📘 Ключевая мысль: для непрерывных величин мы ищем вероятность не точки, а площади под кривой!

Что такое плотность распределения? 📏

Для описания непрерывных случайных величин используется функция плотности вероятности (probability density function, PDF). Обозначается она обычно как f(x).

Самая важная особенность: вероятность попадания в интервал [a, b] равна площади под графиком f(x) на этом интервале.

Формально это записывается так:

P(a ≤ X ≤ b) = ∫_a^b f(x) dx

Свойства функции плотности:

Функция неотрицательна: f(x) ≥ 0 для любого x
Площадь под всей кривой равна 1: ∫_-∞^∞ f(x) dx = 1

💡 Запомните: значение f(x) само по себе не является вероятностью. Вероятность — это всегда площадь, то есть интеграл от этой функции.

Сравнение с дискретным случаем 🔍

Давайте проведем параллели, чтобы лучше понять разницу.

Характеристика	Дискретная величина	Непрерывная величина
Что описывает?	Ряд распределения	Плотность распределения `f(x)`
Вероятность значения	`P(X = x)` > 0	`P(X = x) = 0`
Вероятность интервала	Сумма вероятностей	Площадь под кривой (интеграл)
Сумма/Интеграл	∑ P(x) = 1	∫ f(x)dx = 1

Пример: равномерное распределение 📊

Один из простейших примеров — равномерное распределение. Величина X может с равной вероятностью попасть в любую точку отрезка [a, b].

Его функция плотности выглядит так:

f(x) = { 
  1/(b - a), при x ∈ [a, b]
  0, при x ∉ [a, b]
}

График такой функции — это прямая горизонтальная линия на отрезке [a, b]. Площадь под ней — площадь прямоугольника, и она действительно равна 1: (b - a) * (1/(b - a)) = 1.

🎯 Практический смысл: так распределены, например, ошибки округления или время ожидания автобуса при идеально точном расписании.

Решаем задачу шаг за шагом 🧮

Задача: Автобус ходит строго каждые 15 минут. Вы приходите на остановку в случайный момент времени. Какова вероятность, что вы будете ждать автобус от 5 до 10 минут?

Решение:

Время ожидания X — непрерывная случайная величина, равномерно распределенная на интервале [0, 15] минут.
Найдем функцию плотности. Длина интервала b - a = 15 - 0 = 15. Значит, f(x) = 1/15 для x ∈ [0, 15].
Нам нужна вероятность P(5 ≤ X ≤ 10). В непрерывном случае это площадь под графиком f(x) от 5 до 10.
Так как плотность постоянна, площадь — это площадь прямоугольника с основанием (10 - 5) = 5 и высотой 1/15.
Считаем: P = 5 * (1/15) = 5/15 = 1/3.

Ответ: Вероятность того, что ждать придется от 5 до 10 минут, равна 1/3.

Функция распределения 📈

Часто вместе с плотностью используют функцию распределения F(x). Она показывает вероятность того, что случайная величина примет значение меньшее или равное x.

F(x) = P(X ≤ x)

Для непрерывных величин функция распределения связана с плотностью через интеграл:

F(x) = ∫_-∞^x f(t) dt

То есть F(x) — это площадь под кривой плотности слева от точки x.

💡 Это очень полезный инструмент! Зная функцию распределения, можно найти вероятность попадания в интервал: P(a < X < b) = F(b) - F(a).

Еще одна задача для закрепления 🔢

Задача: Случайная величина X задана плотностью распределения:

f(x) = {
  c * x, при x ∈ [0, 3]
  0, при x ∉ [0, 3]
}

Найдите: а) константу c, б) вероятность P(1 < X < 2).