Финансовые ренты: обычная и немедленная рента

Что такое финансовая рента? 🎯

Представьте, что вы получаете одинаковую сумму денег через равные промежутки времени — например, ежемесячную арендную плату за квартиру или регулярные выплаты по вкладу. Это и есть финансовая рента — последовательность платежей, производимых через равные интервалы.

В экономике и бизнесе ренты встречаются повсеместно: ипотечные платежи, пенсионные накопления, лизинговые выплаты, купоны по облигациям. Умение работать с ними — ключевой навык для финансового планирования.

Два основных типа рент

Существует два фундаментальных типа финансовых рент, которые отличаются моментом выплаты платежа относительно периода:

Обычная рента (аннуитет постнумерандо) — платежи происходят в конце каждого периода (например, в конце месяца или года)
Немедленная рента (аннуитет пренумерандо) — платежи происходят в начале каждого периода

Эта небольшая разница во времени существенно влияет на расчеты!

💡 Запомните: «постнумерандо» — после, «пренумерандо» — до. Это поможет не путать типы рент.

Базовые понятия и обозначения

Прежде чем углубляться в расчеты, давайте определим основные термины:

Обозначение	Значение	Пример
R	Размер регулярного платежа	10 000 рублей
n	Количество периодов выплат	5 лет
i	Процентная ставка за период	10% годовых
S	Будущая стоимость ренты	Сумма всех выплат с процентами
A	Приведенная стоимость ренты	Текущая стоимость будущих выплат

Обычная рента (постнумерандо)

При обычной ренте каждый платеж происходит в конце периода. Это наиболее распространенный тип выплат в кредитовании и инвестициях.

Для расчета будущей стоимости обычной ренты мы используем формулу наращения:

S = R × [(1 + i)ⁿ - 1] / i

А для расчета приведенной стоимости:

A = R × [1 - (1 + i)⁻ⁿ] / i

Давайте разберем на конкретном примере:

Задача 1: Вы планируете ежегодно вносить 50 000 рублей на счет под 7% годовых в течение 10 лет. Какую сумму вы накопите к концу срока?

Решение:

R = 50 000 рублей
i = 0,07 (7% в десятичном выражении)
n = 10 лет
Подставляем в формулу: S = 50000 × [(1 + 0,07)¹⁰ - 1] / 0,07
Вычисляем: (1,07)¹⁰ ≈ 1,96715
1,96715 - 1 = 0,96715
0,96715 / 0,07 ≈ 13,8164
50000 × 13,8164 = 690 820 рублей

К концу срока вы накопите примерно 690 820 рублей.

📘 Обратите внимание: благодаря сложному проценту итоговая сумма значительно превышает простую сумму взносов (50 000 × 10 = 500 000 рублей).

Немедленная рента (пренумерандо)

При немедленной ренте платежи происходят в начале каждого периода. Это характерно для арендных платежей или страховых премий.

Формулы для немедленной ренты отличаются множителем (1 + i):

Будущая стоимость:

S = R × [(1 + i)ⁿ - 1] / i × (1 + i)

Приведенная стоимость:

A = R × [1 - (1 + i)⁻ⁿ] / i × (1 + i)

Задача 2: Рассчитайте приведенную стоимость арендных платежей 20 000 рублей, которые вносятся в начале каждого месяца в течение 2 лет при ставке 12% годовых.

Решение:

R = 20 000 рублей
Месячная ставка: i = 0,12 / 12 = 0,01
n = 2 × 12 = 24 месяца
Подставляем в формулу: A = 20000 × [1 - (1 + 0,01)⁻²⁴] / 0,01 × (1 + 0,01)
Вычисляем: (1,01)⁻²⁴ ≈ 0,7876
1 - 0,7876 = 0,2124
0,2124 / 0,01 = 21,24
21,24 × 1,01 ≈ 21,4524
20000 × 21,4524 = 429 048 рублей

Приведенная стоимость арендных платежей составляет 429 048 рублей.

Сравнение двух типов рент 🔍

Давайте наглядно сравним оба типа рент на одинаковых условиях:

Параметр	Обычная рента	Немедленная рента
Время выплат	В конце периода	В начале периода
Будущая стоимость	Меньше	Больше (на 1 период капитализации)
Приведенная стоимость	Меньше	Больше
Распространенность	Кредиты, вклады	Аренда, страхование

🎯 Практический совет: при прочих равных условиях немедленная рента всегда дороже для плательщика, так как деньги поступают раньше и дольше «работают».