Функция полезности: понятие и виды

Что такое функция полезности?

Представьте, что вы стоите перед выбором: купить яблоко 🍎 или шоколадку 🍫. Функция полезности — это математический способ описать, какое удовольствие или выгоду вы получите от каждого варианта. Она присваивает каждому возможному выбору (или набору благ) числовое значение, которое показывает его «полезность» для вас.

Проще говоря, это инструмент, который экономисты используют, чтобы смоделировать и понять предпочтения людей.

💡 Запомните: полезность — это не абсолютная мера счастья, а относительный показатель для сравнения разных вариантов. Число само по себе не важно (полезность 10 не значит, что вы в два раза счастливее, чем при полезности 5). Важен порядок: большее число означает больший уровень удовлетворения.

Общая форма записи выглядит так:

U = f(x, y, z, ...)

Где:

U — уровень полезности (utility)
x, y, z, ... — количества потребляемых товаров или услуг
f — функция, которая описывает, как эти количества преобразуются в полезность

Основные виды функций полезности

Экономисты выделяют несколько основных типов функций, которые по-разному описывают предпочтения потребителей.

1. Функция полезности Кобба-Дугласа 🍎+🍊

Это одна из самых известных и часто используемых функций. Она полезна для описания предпочтений, когда человек хочет сбалансировать потребление двух или более благ.

Её формула для двух товаров:

U(x, y) = x^α * y^β

Где:

x и y — количества товаров
α и β — параметры, которые показывают «важность» каждого товара для потребителя (часто это доли бюджета, которые он готов на них потратить)

🎯 Пример из жизни: вы распределяете свой бюджет между едой (x) и развлечениями (y). Если вы цените их одинаково, ваша функция может выглядеть как U(x, y) = x^0.5 * y^0.5.

2. Совершенные субституты (Взаимозаменяемые товары) ➕

Это товары, которые потребитель готов заменять друг на друга в постоянной пропорции, не теряя при этом уровня полезности. Классический пример — две марки минеральной воды или пакеты молока от разных производителей.

Функция полезности для них линейна:

U(x, y) = αx + βy

Где α и β — константы, определяющие, в какой пропорции товары заменяют друг друга. Например, если α=2 и β=1, то 2 единицы товара y для вас то же самое, что 1 единица товара x.

3. Совершенные комплементы (Взаимодополняемые товары) 👟👟

Эти товары потребляются только вместе и в строго определённой пропорции. Полезность возникает только при комбинированном потреблении. Яркий пример — правый и левый ботинок. Бесполезно иметь два правых ботинка — вы всё равно не сможете выйти на улицу.

Функция полезности для таких товаров имеет вид:

U(x, y) = min(αx, βy)

Это значит, что общий уровень полезности определяется тем товаром, которого у вас меньше всего относительно нужной пропорции.

📘 Пример: допустим, вам всегда нужны 2 ложки сахара (y) на одну чашку кофе (x). Ваша функция полезности: U(x, y) = min(x, y/2). Если у вас 3 чашки кофе и 4 ложки сахара, то полезность будет min(3, 4/2) = min(3, 2) = 2. «Лишняя» чашка кофе без сахара не увеличит ваше удовлетворение.

Предельная полезность 🔺

Это ключевое понятие для анализа функций! Предельная полезность — это дополнительная полезность, которую вы получаете от потребления ещё одной дополнительной единицы блага.

Математически это частная производная функции полезности по конкретному товару. Это показывает, как изменится U, если мы увеличим x на очень маленькую величину, а количество всех остальных товаров останется неизменным.

Для функции Кобба-Дугласа U(x, y) = x^α * y^β предельная полезность по товару x будет:

MU_x = ∂U/∂x = α * x^(α-1) * y^β

Закон убывающей предельной полезности гласит: чем больше единиц блага вы уже потребили, тем меньше удовольствия вы получите от каждой следующей единицы. Первый кусок пиццы невероятно вкусен, пятый — уже не так сильно, а десятый может даже вызвать неприятные ощущения.

Решим задачу вместе! 🧮

Условие:
Полезность Ивана от потребления чая (x) и кофе (y) описывается функцией Кобба-Дугласа: U(x, y) = x^0.6 * y^0.4. Сегодня он потребляет 25 чашек чая и 16 чашек кофе.

Вопрос:
1. Рассчитайте общий уровень полезности Ивана.
2. Найдите предельную полезность чая (MU_x) и кофе (MU_y) в данной точке.

Пошаговое решение:

Шаг 1. Находим общую полезность U.
Подставляем значения x = 25 и y = 16 в функцию:

U(25, 16) = 25^0.6 * 16^0.4

Для вычисления дробных степеней удобно использовать калькулятор.
25^0.6 ≈ 8.00
16^0.4 ≈ 2.99
Таким образом:
U ≈ 8.00 * 2.99 ≈ 23.92

Ответ на первый вопрос: общий уровень полезности Ивана составляет примерно 23.92 ютиля (условных единиц полезности).

Шаг 2. Находим предельные полезности.
Сначала найдем формулу для MU_x, используя правило дифференцирования степенной функции