Матричные игры: платежная матрица, оптимальные стратегии
Что такое матричные игры? 🎲
Матричная игра — это математическая модель конфликтной ситуации, где участвуют два игрока с противоположными интересами. Один игрок стремится максимизировать свой выигрыш, а другой — минимизировать свой проигрыш (что равно максимизации выигрыша первого).
Представьте, что вы владелец кофейни и решаете, поднимать цены или нет. Ваш конкурент тоже принимает решение. Ваша прибыль зависит от решений обоих. Это и есть матричная игра!
💡 Ключевая особенность: нулевая сумма. Что выиграл один игрок, то проиграл другой, и наоборот.
Платежная матрица 📊
Это основная форма представления игры. Мы записываем выигрыши первого игрока для всех возможных комбинаций стратегий.
Рассмотрим простой пример. У первого игрока 2 стратегии (A1 и A2), у второго — 2 стратегии (B1 и B2):
| B1 | B2 | |
|---|---|---|
| A1 | 4 | 2 |
| A2 | 1 | 8 |
Числа в таблице показывают выигрыш первого игрока. Например, если первый выбрал A1, а второй — B2, первый получает 2 единицы выигрыша.
📘 Запомните: строки — стратегии первого игрока, столбцы — стратегии второго. Значения — выигрыш первого.
Оптимальные стратегии и цена игры 🎯
Оптимальная стратегия — это такая стратегия, которая гарантирует игроку определенный выигрыш независимо от действий противника.
Цена игры — это величина выигрыша, которую первый игрок может гарантировать себе при правильной игре.
Решение игры в чистых стратегиях
Находим нижнюю и верхнюю цену игры:
- Нижняя цена (максимин): первый игрок выбирает стратегию, которая максимизирует его минимальный выигрыш
- Верхняя цена (минимакс): второй игрок выбирает стратегию, которая минимизирует максимальный выигрыш первого
Если эти цены равны, игра имеет решение в чистых стратегиях.
Решаем задачу шаг за шагом 🔍
Условие задачи
Дана платежная матрица:
| B1 | B2 | |
|---|---|---|
| A1 | 5 | 3 |
| A2 | 2 | 6 |
Найдите оптимальные стратегии игроков и цену игры.
Решение
Шаг 1. Находим нижнюю цену игры (максимин)
Для каждой стратегии первого игрока находим минимальный выигрыш:
- Для A1:
min(5, 3) = 3 - Для A2:
min(2, 6) = 2
Выбираем максимальное из этих значений: max(3, 2) = 3
Нижняя цена игры: 3
Шаг 2. Находим верхнюю цену игры (минимакс)
Для каждой стратегии второго игрока находим максимальный выигрыш первого:
- Для B1:
max(5, 2) = 5 - Для B2:
max(3, 6) = 6
Выбираем минимальное из этих значений: min(5, 6) = 5
Верхняя цена игры: 5
Шаг 3. Анализируем результат
Нижняя цена 3 не равна верхней цене 5, значит, решения в чистых стратегиях нет.
Нужно искать решение в смешанных стратегиях, где игроки выбирают стратегии с определенными вероятностями.
Смешанные стратегии 🔄
Когда нет седловой точки (нижняя и верхняя цены не равны), игроки используют смешанные стратегии — выбирают чистые стратегии с определенными вероятностями.
Для нашего примера найдем оптимальные смешанные стратегии.
Шаг 4. Решаем систему уравнений для смешанных стратегий
Пусть первый игрок выбирает A1 с вероятностью p, A2 с вероятностью (1-p).
Второй игрок выбирает B1 с вероятностью q, B2 с вероятностью (1-q).
Ожидаемый выигрыш первого игрока:
E = 5pq + 3p(1-q) + 2(1-p)q + 6(1-p)(1-q)
После преобразований получаем систему уравнений. Решив ее, находим оптимальные вероятности.
💡 Совет: для игр 2×2 есть готовые формулы. Оптимальная стратегия первого игрока: p = (d - c) / (a + d - b - c), где a, b, c, d — элементы матрицы
Для нашей матрицы: a=5, b=3, c=2, d=6
Рассчитываем: p = (6 - 2) / (5 + 6 - 3 - 2) = 4 / 6 = 2/3
Значит, первому игроку нужно выбирать A1 с вероятностью 2/3, A2 с вероятностью 1/3.
Практическое применение в бизнесе 💼
Матричные игры помогают в принятии стратегических решений:
- Ценообразование на конкурентном рынке
- Выбор маркетинговой стратегии
- Определение оптимального объема производства
- Планирование рекламных бюджетов
Например, при запуске нового продукта вы можете смоделировать возможные реакции конкурентов и выбрать стратегию, которая гарантирует вам определенную долю рынка независимо от действий конкурента.
🎓 Важно: матричные игры — это упрощенная модель реальности. В бизнесе обычно больше двух игроков и стратегий, но базовые принципы остаются полезными.
