Оптимизация портфеля инвестиций
Что такое оптимизация портфеля? 🎯
Представьте, что у вас есть некоторая сумма денег, и вы хотите вложить её в акции разных компаний. Покупка акций одной компании — это рискованно. А если купить акции нескольких? Тогда вы создадите свой инвестиционный портфель.
Оптимизация портфеля — это математический подход к выбору таких долек (долей) разных активов в вашем портфеле, чтобы достичь наилучшего соотношения между доходностью и риском.
💡 Главная идея: не класть все яйца в одну корзину. Диверсификация (разделение средств между разными активами) помогает снизить общий риск.
Ключевые понятия: Доходность и Риск
Чтобы оптимизировать портфель, мы работаем с двумя главными числами для каждого актива:
- Ожидаемая доходность (
E(R)) — это средняя доходность, которую мы рассчитываем получить от актива в будущем. - Риск (волатильность) — это мера того, насколько сильно доходность актива может отклоняться от среднего значения. Мы измеряем риск с помощью стандартного отклонения (
σ— сигма).
Чем выше стандартное отклонение, тем рискованнее актив.
Доходность портфеля
Доходность всего портфеля — это просто средневзвешенная доходность входящих в него активов.
E(Rp) = w1 * E(R1) + w2 * E(R2) + ... + wn * E(Rn)Где:
E(Rp)— ожидаемая доходность портфеля.w1, w2, ..., wn— доли (веса) каждого актива в портфеле. Сумма всех весов должна быть равна 1.E(R1), E(R2), ..., E(Rn)— ожидаемые доходности каждого актива.
Риск портфеля 🔺
С риском всё интереснее! Риск портфеля — это НЕ просто средневзвешенное рисков активов. Мы должны учесть, как активы двигаются друг относительно друга. Для этого мы используем понятие ковариации и корреляции.
Формула риска (дисперсии) для портфеля из двух активов выглядит так:
σ²p = w1² * σ1² + w2² * σ2² + 2 * w1 * w2 * Cov(1,2)Где Cov(1,2) — это ковариация между доходностями первого и второго актива.
📘 Корреляция — это стандартизированная ковариация. Её значение всегда лежит между -1 и 1.
- Если корреляция близка к 1, активы движутся в одном направлении. ➕
- Если корреляция близка к -1, активы движутся в противоположных направлениях. ➖
- Если корреляция близка к 0, связи между движениями нет.
Именно отрицательная корреляция позволяет нам снизить общий риск портфеля через диверсификацию!
Эффективный фронтор
Когда мы рассчитываем доходность и риск для тысяч разных комбинаций весов активов, мы получаем множество возможных портфелей. Если отобразить их на графике (где по оси X — риск, а по оси Y — доходность), мы увидим облако точек.
Верхняя граница этого облака называется эффективным фронтором. Это набор портфелей, каждый из которых:
- Обеспечивает максимальную ожидаемую доходность для заданного уровня риска.
- Обеспечивает минимальный риск для заданного уровня ожидаемой доходности.
Любой портфель, не лежащий на эффективном фронторе, является неоптимальным.
Задача: Оптимизация портфеля из двух активов
Условие:
У нас есть два актива: Акция A и Акция B.
- Ожидаемая доходность A (
E(Ra)) = 12% - Ожидаемая доходность B (
E(Rb)) = 8% - Риск A (
σa) = 15% - Риск B (
σb) = 10% - Ковариация между A и B (
Cov(a,b)) = 0.005
Пошаговое решение:
Шаг 1: Рассчитаем ожидаемую доходность портфеля.
Используем формулу средневзвешенной доходности:
E(Rp) = wa * E(Ra) + wb * E(Rb)
E(Rp) = (0.6 * 0.12) + (0.4 * 0.08)
E(Rp) = 0.072 + 0.032
E(Rp) = 0.104 или 10.4%Шаг 2: Рассчитаем риск портфеля.
Сначала найдем дисперсию портфеля по формуле для двух активов:
σ²p = wa² * σa² + wb² * σb² + 2 * wa * wb * Cov(a,b)Подставляем известные значения:
σ²p = (0.6)² * (0.15)² + (0.4)² * (0.10)² + 2 * 0.6 * 0.4 * 0.005
σ²p = (0.36 * 0.0225) + (0.16 * 0.01) + (0.48 * 0.005)
σ²p = (0.0081) + (0.0016) + (0.0024)
σ²p = 0.0121Теперь чтобы найти риск (стандартное отклонение), извлекаем квадратный корень из дисперсии:
σp = √0.0121
σp = 0.11 или 11%Ответ: Ожидаемая доходность портфеля составляет 10.4%, а риск — 11%.
💡 Обратите внимание: риск портфеля (11%) оказался МЕНЬШЕ, чем средневзвешенный риск активов (
0.6*15% + 0.4*10% = 13%). Это и есть магия диверсификации в действии!
