Расчет текущей стоимости аннуитета

Что такое аннуитет и зачем считать его текущую стоимость?

Представьте, что вы получаете одинаковую сумму денег каждый месяц — например, арендную плату или выплаты по кредиту. 📅 Это и есть аннуитет — серия равных платежей через равные промежутки времени.

Но почему 1000 рублей сегодня — это не то же самое, что 1000 рублей через год? 💰 Из-за инфляции и возможности инвестировать деньги! Поэтому чтобы сравнить будущие платежи с сегодняшними деньгами, мы рассчитываем их текущую (приведенную) стоимость.

💡 Профессиональный совет: Расчет текущей стоимости аннуитета помогает принимать взвешенные финансовые решения — от выбора кредита до оценки инвестиций в недвижимость.

Формула текущей стоимости обычного аннуитета

Самый распространенный тип — обычный аннуитет, где платежи происходят в конце каждого периода (месяца, квартала, года).

Основная формула:

PVA = PMT × [1 - (1 + r)^(-n)] / r

Где:

PVA (Present Value of Annuity) — текущая стоимость аннуитета
PMT (Payment) — сумма регулярного платежа
r — процентная ставка за период (в десятичных дробях)
n — количество периодов

📘 Запомните: Ставка r и количество периодов n должны соответствовать друг другу! Если платежи monthly, используйте месячную ставку.

Разбираем формулу на практическом примере

Давайте решим задачу шаг за шаком, чтобы понять механизм расчета.

🔹 Условие задачи:

Вы рассматриваете инвестицию, которая будет приносить вам 50 000 рублей в год в течение 5 лет. Годовая процентная ставка составляет 7%. Какова текущая стоимость этих будущих доходов?

🔹 Решение:

Сначала определим переменные:

PMT = 50 000 руб. (ежегодный платеж)
r = 7% = 0.07 (годовая ставка)
n = 5 лет

Теперь подставим значения в формулу:

PVA = 50 000 × [1 - (1 + 0.07)^(-5)] / 0.07

Выполним расчет по шагам:

Считаем (1 + r): 1 + 0.07 = 1.07
Возводим в степень -n: 1.07^(-5) = 1 / (1.07^5) ≈ 1 / 1.40255 ≈ 0.71299
Вычисляем выражение в скобках: 1 - 0.71299 = 0.28701
Делим на ставку: 0.28701 / 0.07 ≈ 4.10014
Умножаем на платеж: 50 000 × 4.10014 = 205 007 руб.

Ответ: Текущая стоимость аннуитета составляет approximately 205 007 рублей.

🎯 Ключевой вывод: Получать 50 000 рублей ежегодно в течение 5 лет при ставке 7% эквивалентно тому, чтобы иметь 205 007 рублей сегодня!

Особый случай: аннуитет пренумерандо

Что если платежи поступают в начале каждого периода? 🤔 Например, арендные платежи обычно вносятся авансом.

Формула немного изменяется:

PVA = PMT × [1 - (1 + r)^(-n)] / r × (1 + r)

Давайте используем предыдущий пример, но с платежами в начале года:

PVA = 50 000 × [1 - (1.07)^(-5)] / 0.07 × (1.07)
     = 50 000 × 4.10014 × 1.07 ≈ 219 307 руб.

Как видите, текущая стоимость выше, так как вы получаете деньги раньше!

Практическое применение: таблица сравнения

Давайте посмотрим, как изменение ставки и срока влияет на текущую стоимость.

Годовая ставка	5 лет	10 лет	20 лет
5%	216 474 руб.	386 087 руб.	623 111 руб.
7%	205 007 руб.	351 179 руб.	529 700 руб.
10%	189 539 руб.	307 228 руб.	425 678 руб.

Примечание: Расчет для ежегодного платежа 50 000 руб. (обычный аннуитет)

🔺 Наблюдение: Чем выше процентная ставка, тем меньше текущая стоимость. И чем longer срок, тем больше общая стоимость, но тем меньше сегодняшняя ценность денег!

Проверьте себя: самостоятельная задача

Попробуйте решить задачу самостоятельно, чтобы закрепить материал.

🔹 Условие:

Вы планируете взять автокредит с ежемесячными платежами 15 000 рублей на 3 года. Банковская ставка — 12% годовых. Какова текущая стоимость этого кредита (его первоначальная сумма)?

🔹 Пошаговое решение:

Переведите годовую ставку в месячную: 12% / 12 = 1% = 0.01 в месяц
Определите количество периодов: 3 года × 12 месяцев = 36 месяцев
Примените формулу обычного аннуитета:
```
PVA = 15 000 × [1 - (1 + 0.01)^(-36)] / 0.01
```
Вычислите step by step:
- 1.01^(-36) ≈ 0.69892
- 1 - 0.69892 = 0.30108
- 0.30108 / 0.01 = 30.108
- 15 000 × 30.108 = 451 620 руб.

Ответ: Первоначальная сумма кредита составит approximately 451 620 рублей.

Частые ошибки и как их избежать

Несоответствие периодов: Убедитесь, что ставка r и число периодов n относятся к одному временному интервалу
Использование процентов вместо десятичных дробей: Всегда конвертируйте проценты в десятичные дроби (7% → 0.07)