Физика твердого тела: масса, импульс, момент инерции

Основные понятия: масса и импульс

Представь, что ты создаёшь персонажа в игре. Чтобы он двигался реалистично, нужно понимать две ключевые величины: массу и импульс.

🎯 Масса — это мера инертности тела. Чем больше масса, тем сложнее изменить скорость объекта (разогнать, остановить или повернуть его). В играх масса обычно измеряется в условных единицах.

💡 Совет: В игровом движке масса часто влияет на то, как объекты взаимодействуют при столкновениях. Тяжёлый танк сдвинет лёгкую машину, но не наоборот!

📘 Импульс (или количество движения) описывает «запас движения» объекта. Он вычисляется по формуле:

p = m * v

где:
• p — импульс (кг·м/с)
• m — масса (кг)
• v — скорость вектор (м/с)

Импульс — векторная величина! Это значит, что у него есть не только величина, но и направление.

В физике игр импульс важен для расчёта столкновений. При ударе двух объектов суммарный импульс системы сохраняется (закон сохранения импульса). Это позволяет реалистично рассчитывать отскоки и отдачи.

Задача на импульс

🧠 Условие: Шар массой 2 кг катится со скоростью 3 м/с навстречу шару массой 1 кг, движущемуся со скоростью 4 м/с. Если шары абсолютно упруго столкнутся, каков будет импульс каждого после удара? (Считаем движение вдоль одной прямой).

🔎 Решение:

Найдём общий импульс до столкновения (он сохранится):

p_общ = m1*v1 + m2*v2

Направим ось в сторону первого шара. Тогда:

p_общ = (2 кг * 3 м/с) + (1 кг * (-4 м/с)) = 6 - 4 = 2 кг·м/с

Запишем закон сохранения энергии (для упругого удара):

(m1*v1²)/2 + (m2*v2²)/2 = (m1*u1²)/2 + (m2*u2²)/2

Решим систему из двух уравнений (сохранение импульса и энергии). После вычислений получим:

u1 = -1 м/с, u2 = 4 м/с

Найдём импульсы после удара:

p1 = 2 кг * (-1 м/с) = -2 кг·м/с
p2 = 1 кг * 4 м/с = 4 кг·м/с

✅ Ответ: Импульс первого шара составит -2 кг·м/с, второго — 4 кг·м/с.

Момент инерции: вращательная масса

Теперь перейдём к вращению! Если масса мешает изменить линейную скорость, то момент инерции мешает изменить вращательную скорость.

Представь дверь: толкнуть её near петель сложно (большой момент инерции), а near ручки — легко (маленький момент инерции). В играх это влияет на повороты персонажей, vehicles и вращающихся объектов.

Момент инерции (I) зависит не только от массы, но и от её распределения относительно оси вращения:

I = Σ(m_i * r_i²)

где r_i — расстояние от элемента массы до оси вращения.

📊 Вот примеры моментов инерции для простых форм:

Форма	Ось вращения	Момент инерции
Точка массой m	На расстоянии r	`I = m * r²`
Сплошной диск	Через центр	`I = (m * r²) / 2`
Стержень длиной L	Через центр	`I = (m * L²) / 12`
Стержень длиной L	Через конец	`I = (m * L²) / 3`

В игровых движках момент инерции используется во вращательной динамике. Чем больше I, тем сложнее раскрутить или остановить вращение объекта.

🎮 Практический совет: Чтобы персонаж быстро поворачивался в воздухе (например, в платформере), сделай его момент инерции небольшим. Для реалистичного вращения тяжёлого vehicle — увеличивай момент инерции.

Задача на момент инерции

🧠 Условие: Рассчитай момент инерции стержня массой 6 кг и длиной 4 м относительно оси, проходящей через его середину.

🔎 Решение:

Используем формулу для стержня (ось через центр):

I = (m * L²) / 12

Подставляем значения:

I = (6 кг * (4 м)²) / 12 = (6 * 16) / 12 = 96 / 12 = 8 кг·м²

✅ Ответ: Момент инерции составляет 8 кг·м².

Связь линейного и вращательного движения

Многие понятия линейного движения имеют аналоги во вращательном. Эта аналогия помогает переносить законы с одного типа движения на другой.

Линейное движение	Вращательное движение
Масса (`m`)	Момент инерции (`I`)
Скорость (`v`)	Угловая скорость (`ω`)
Импульс (`p = m*v`)	Момент импульса (`L = I*ω`)
Сила (`F`)	Момент силы (`τ = I*α`)

✨ Момент импульса (L) — это вращательный аналог обычного импульса. Он также сохраняется в замкнутой системе, что используется в симуляциях вращений (например, вращение фигуриста с прижатыми руками).

В игровой физике эти величины помогают создавать правдоподобное поведение объектов — от катящихся шаров до вращающихся космических кораблей.