Интерполяция и билинейная интерполяция

Что такое интерполяция? 🧮

Представь, что у тебя есть две точки на прямой. Ты знаешь их координаты, но хочешь найти значение где-то между ними. Вот для этого и нужна интерполяция! Это способ найти промежуточные значения на основе известных данных.

🎯 Интерполяция — это "заполнение пробелов" между известными точками. В геймдеве она используется постоянно: для плавного движения камеры, анимации, генерации ландшафта и текстур.

Линейная интерполяция (LERP)

Самый простой вид интерполяции — линейный. Работает он по принципу "смешивания" двух значений.

Формула выглядит так:

result = A + (B - A) * t

Где:

• A — начальное значение
• B — конечное значение
• t — параметр интерполяции (от 0 до 1)

Когда t = 0, результат равен A. Когда t = 1, результат равен B. При t = 0.5 получаем ровно середину между A и B.

Задача: интерполяция цвета 🎨

Условие: есть два цвета — красный (255, 0, 0) и синий (0, 0, 255). Найди цвет при t = 0.5.

Решение:

Применим формулу LERP к каждому компоненту цвета:

R = 255 + (0 - 255) * 0.5 = 255 - 127.5 = 127.5 ≈ 128
G = 0 + (0 - 0) * 0.5 = 0
B = 0 + (255 - 0) * 0.5 = 127.5 ≈ 128

Получаем цвет (128, 0, 128) — это фиолетовый! Именно то, что ожидалось между красным и синим.

---

Билинейная интерполяция 🔷

А что если у нас не линия, а плоскость? Например, сетка пикселей текстуры. Здесь на помощь приходит билинейная интерполяция!

Билинейная интерполяция — это просто линейная интерполяция, выполненная дважды: сначала по одной оси, потом по другой.

Как это работает шаг за шагом:

1. Есть 4 угловые точки с известными значениями
2. Сначала интерполируем между верхними точками
3. Потом интерполируем между нижними точками
4. Наконец, интерполируем между полученными значениями

Точка	Значение	Координаты
Q11	V11	(0,0)
Q12	V12	(0,1)
Q21	V21	(1,0)
Q22	V22	(1,1)

Формула билинейной интерполяции:

f(x,y) = V11 * (1-x)*(1-y) + V21 * x*(1-y) + V12 * (1-x)*y + V22 * x*y

Задача: интерполяция высоты ландшафта 🏔️

Условие: у нас есть четыре точки высот:

• Левый верхний угол: высота 10м
• Правый верхний угол: высота 20м
• Левый нижний угол: высота 5м
• Правый нижний угол: высота 15м

Найди высоту в точке (0.7, 0.3).

Решение:

Подставим значения в формулу:

f(0.7,0.3) = 10 * (1-0.7)*(1-0.3) + 20 * 0.7*(1-0.3) + 5 * (1-0.7)*0.3 + 15 * 0.7*0.3

Вычислим по шагам:

Часть1 = 10 * 0.3 * 0.7 = 2.1
Часть2 = 20 * 0.7 * 0.7 = 9.8
Часть3 = 5 * 0.3 * 0.3 = 0.45
Часть4 = 15 * 0.7 * 0.3 = 3.15

Результат = 2.1 + 9.8 + 0.45 + 3.15 = 15.5 метров

Отличный результат! Мы точно определили высоту в промежуточной точке.

---

Применение в геймдеве 🎮

Билинейная интерполяция незаменима в:

• 📺 Текстурировании 3D-моделей
• 🌋 Генерации плавного ландшафта
• 🔍 Масштабировании изображений
• 💡 Расчете освещения
• 🎥 Плавном перемещении объектов

💡 Совет: в Unity есть встроенная функция Mathf.Lerp для линейной интерполяции и Vector2.Lerp/Vector3.Lerp для интерполяции векторов!

Практическое задание ✍️

Попробуй написать функцию билинейной интерполяции на Python. Она должна принимать:

• 4 угловых значения
• Координаты x и y (между 0 и 1)
• Возвращать интерполированное значение

Вот каркас функции:

def bilinear_interpolation(v11, v12, v21, v22, x, y):
    # Твой код здесь
    return result

Проверь работу на примере с высотами выше — должно получиться 15.5!

Заключение

Интерполяция — это мощный инструмент в руках геймдев-разработчика. Освоив линейную и билинейную интерполяцию, ты сможешь создавать более плавные, естественные и красивые игры. Помни: математика в геймдеве — это не сухие формулы, а инструменты для создания волшебства! ✨

🎯 Главное правило: практикуйся! Попробуй применить интерполяцию в своем следующем проекте — для плавного перемещения камеры или генерации terrain.