Кватернионы: применение для трехмерного вращения

Что такое кватернионы и зачем они нужны?

Представь, что тебе нужно плавно повернуть камеру в игре вокруг персонажа или реализовать вращение космического корабля во всех направлениях. С помощью обычных углов Эйлера (yaw, pitch, roll) это делать неудобно — возникает проблема "шарнирного замка" (gimbal lock), когда ты теряешь одну степень свободы.

Кватернионы — это математические объекты, которые отлично подходят для описания вращений в 3D-пространстве. Они помогают избежать проблем углов Эйлера и позволяют делать плавные интерполяции между вращениями.

🎮 Практический совет: В игровых движках Unity и Unreal Engine кватернионы используются повсеместно для представления вращений объектов.

Строение кватерниона

Кватернион состоит из четырех компонентов: одной действительной части и трех мнимых. Мы будем записывать его так:

q = [w, (x, y, z)]

где:

w — скалярная часть (действительная)
(x, y, z) — векторная часть (мнимая)

Для вращений мы используем единичные кватернионы — те, у которых длина равна 1:

w² + x² + y² + z² = 1

Как кватернионы представляют вращение

Кватернион вращения задается через ось и угол поворота вокруг этой оси:

q = [cos(θ/2), sin(θ/2) * (x, y, z)]

где:

θ — угол поворота
(x, y, z) — единичный вектор оси вращения

💡 Запомни: Угол делится пополам — это ключевой момент для понимания работы кватернионов!

Базовые операции с кватернионами

Умножение кватернионов

Чтобы комбинировать вращения, мы перемножаем кватернионы. Это не коммутативно (порядок имеет значение!):

q1 * q2 ≠ q2 * q1

Формула умножения выглядит так:

q1 * q2 = [
  w1*w2 - dot(v1, v2),
  w1*v2 + w2*v1 + cross(v1, v2)
]

где v1 = (x1, y1, z1) и v2 = (x2, y2, z2)

Вращение вектора с помощью кватерниона

Чтобы повернуть вектор v с помощью кватерниона q, используем формулу:

v' = q * v * q⁻¹

где q⁻¹ — обратный кватернион (для единичного кватерниона это то же самое, что сопряженный: [w, (-x, -y, -z)])

Практическое применение в геймдеве

1. Плавное вращение камеры

Кватернионы позволяют делать сферическую интерполяцию (SLERP) — плавное переход между двумя вращениями:

q(t) = (q1 * sin((1-t)*θ) + q2 * sin(t*θ)) / sin(θ)

где t изменяется от 0 до 1

2. Вращение вокруг произвольной оси

Допустим, мы хотим повернуть объект вокруг оси Y на 45 градусов:

angle = 45° * π/180 = 0.7854 радиан
axis = (0, 1, 0) // ось Y

q = [cos(0.7854/2), sin(0.7854/2) * (0, 1, 0)]
q = [0.9239, (0, 0.3827, 0)]

3. Комбинирование вращений

Если нужно повернуть объект сначала вокруг оси X, потом вокруг оси Y:

q_x = [cos(α/2), sin(α/2) * (1, 0, 0)]
q_y = [cos(β/2), sin(β/2) * (0, 1, 0)]

q_result = q_y * q_x // важно: сначала применяется последнее вращение!

Сравнение с другими методами

Метод	Преимущества	Недостатки
Углы Эйлера	Простота понимания	Проблема шарнирного замка
Матрицы вращения	Нет проблемы замка	Избыточность (9 чисел), сложная интерполяция
Кватернионы	Компактность (4 числа), плавная интерполяция	Сложнее для понимания

Практические задачи

Задача 1: Создание кватерниона вращения

Создай кватернион для вращения на 90 градусов вокруг оси Z.

📝 Решение:

1. Переводим угол в радианы: 90° = π/2 ≈ 1.5708 радиан

2. Делим угол пополам: θ/2 = 0.7854 радиан

3. Вычисляем компоненты:
w = cos(0.7854) ≈ 0.7071
z = sin(0.7854) * 1 ≈ 0.7071
x = sin(0.7854) * 0 = 0
y = sin(0.7854) * 0 = 0
4. Получаем кватернион: q = [0.7071, (0, 0, 0.7071)]

Задача 2: Вращение вектора

Поверни вектор v = (1, 0, 0) с помощью кватерниона из предыдущей задачи.

📝 Решение:

1. Представляем вектор как кватернион: p = [0, (1, 0, 0)]

2. Находим обратный кватернион: q⁻¹ = [0.7071, (0, 0, -0.7071)]

3. Выполняем вращение: p' = q * p * q⁻¹

4. После вычислений получаем: p' = [0, (0, 1, 0)]

5. Вектор повернулся из (1, 0, 0) в (0, 1, 0) — что и ожидалось при повороте на 90° вокруг Z!